Номер 60, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 60, страница 27.

Условие.

60. Построив график функции $y = f(x)$, найти:

а) область определения функции;

б) множество значений;

в) промежутки убывания:

1) $f(x)= \begin{cases} \sin x, \text{ если } 0 \le x \le 3\pi, \\ \sqrt{-x}, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

2) $f(x)= \begin{cases} \sin x, \text{ если } \frac{\pi}{4} \le x \le 2\pi, \\ \cos x, \text{ если } -2\pi \le x < \frac{\pi}{4}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } 0 \le x \le 3\pi \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Сначала построим график функции.
Для $x < 0$ график представляет собой ветвь параболы $y^2 = -x$, расположенную в левой верхней четверти ($y \ge 0$). Эта функция убывает на всей своей области определения. Например, $f(-1) = 1$, $f(-4) = 2$. При $x \to 0^-$, $f(x) \to 0$.
Для $0 \le x \le 3\pi$ график представляет собой полторы волны синусоиды $y = \sin x$. График начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимумов в точках $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и $(\frac{5\pi}{2}, 1)$ и минимума в точке $(\frac{3\pi}{2}, -1)$. Заканчивается график в точке $(3\pi, 0)$.
График функции непрерывен в точке $x=0$, так как $\lim_{x \to 0^-} \sqrt{-x} = 0$ и $f(0) = \sin 0 = 0$.

а) область определения функции

Функция определена для всех $x < 0$ и для $x$ в промежутке $[0, 3\pi]$. Объединяя эти два множества, получаем область определения $D(f) = (-\infty, 0) \cup [0, 3\pi] = (-\infty, 3\pi]$.
Ответ: $D(f) = (-\infty, 3\pi]$.

б) множество значений

На промежутке $x < 0$ функция $y = \sqrt{-x}$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.
На промежутке $[0, 3\pi]$ функция $y = \sin x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.
Объединяя эти два множества значений, получаем множество значений всей функции: $E(f) = (0, +\infty) \cup [-1, 1] = [-1, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) промежутки убывания

Анализируя график, находим промежутки, на которых функция убывает.
1. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = \sqrt{-x}$ является убывающей. Поскольку $f(0)=0$ и для любого $x<0$ значение $f(x)=\sqrt{-x}>0$, то функция убывает на всем луче $(-\infty, 0]$.
2. На промежутке $[0, 3\pi]$ функция $y = \sin x$ убывает там, где ее производная $(\sin x)' = \cos x \le 0$. Это происходит на отрезках $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$.
Следовательно, функция убывает на следующих промежутках: $(-\infty, 0]$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$.
Ответ: $(-\infty, 0]$; $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$; $[\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$.

---

2) Для функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } \frac{\pi}{4} \le x \le 2\pi \\ \cos x, & \text{если } -2\pi \le x < \frac{\pi}{4} \end{cases}$

Сначала построим график функции.
Для $-2\pi \le x < \frac{\pi}{4}$ график совпадает с графиком функции $y = \cos x$. Он начинается в точке $(-2\pi, 1)$, проходит через минимум в $(-\pi, -1)$ и максимум в $(0, 1)$, и стремится к точке $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ при $x \to (\frac{\pi}{4})^-$.
Для $\frac{\pi}{4} \le x \le 2\pi$ график совпадает с графиком функции $y = \sin x$. Он начинается в точке $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, проходит через максимум в $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и минимум в $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, и заканчивается в точке $(2\pi, 0)$.
Функция непрерывна в точке $x=\frac{\pi}{4}$, так как $\lim_{x \to (\pi/4)^-} \cos x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) область определения функции

Функция определена на промежутке $[-2\pi, \frac{\pi}{4})$ и на промежутке $[\frac{\pi}{4}, 2\pi]$. Объединяя эти два множества, получаем область определения $D(f) = [-2\pi, \frac{\pi}{4}) \cup [\frac{\pi}{4}, 2\pi] = [-2\pi, 2\pi]$.
Ответ: $D(f) = [-2\pi, 2\pi]$.

б) множество значений

На промежутке $[-2\pi, \frac{\pi}{4})$ функция $y = \cos x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.
На промежутке $[\frac{\pi}{4}, 2\pi]$ функция $y = \sin x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.
Множество значений всей функции является объединением этих множеств, то есть $E(f) = [-1, 1] \cup [-1, 1] = [-1, 1]$.
Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

в) промежутки убывания

Анализируя график, находим промежутки, на которых функция убывает.
1. На промежутке $[-2\pi, \frac{\pi}{4})$ функция $y = \cos x$ убывает, когда ее производная $(\cos x)' = -\sin x \le 0$, то есть когда $\sin x \ge 0$. В пределах данного интервала это происходит на отрезках $[-2\pi, -\pi]$ и $[0, \frac{\pi}{4})$.
2. На промежутке $[\frac{\pi}{4}, 2\pi]$ функция $y = \sin x$ убывает, когда ее производная $(\sin x)' = \cos x \le 0$. В пределах данного интервала это происходит на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
В точке $x=\frac{\pi}{4}$ функция переходит от убывания к возрастанию, достигая локального минимума. Следовательно, отрезок убывания $[0, \frac{\pi}{4})$ можно замкнуть, включив точку $x=\frac{\pi}{4}$.
Объединяя результаты, получаем следующие промежутки убывания: $[-2\pi, -\pi]$, $[0, \frac{\pi}{4}]$ и $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Ответ: $[-2\pi, -\pi]$; $[0, \frac{\pi}{4}]$; $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.