Номер 62, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 62, страница 27.

Условие.

62. Найти все принадлежащие промежутку $ - \frac{3\pi}{2} \leq x \leq \pi $ корни уравнения:

1) $ \sin 2x = -\frac{1}{2}; $

2) $ \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ на промежутке $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$.

Сначала найдем общее решение уравнения. Общее решение для уравнения $\sin(y) = a$ можно представить в виде совокупности двух серий решений: $y = \arcsin(a) + 2\pi n$ и $y = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем две серии решений для $2x$:

$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $2x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Разделив каждое уравнение на 2, получим общие решения для $x$:

1. $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
2. $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\frac{3\pi}{2}, \pi]$.

Для первой серии решений $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{12} + \pi n \le \pi$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le -\frac{1}{12} + n \le 1$.

Прибавим ко всем частям $\frac{1}{12}$: $-\frac{3}{2} + \frac{1}{12} \le n \le 1 + \frac{1}{12}$, что дает $-\frac{17}{12} \le n \le \frac{13}{12}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.

При $n = -1: x = -\frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{13\pi}{12}$.
При $n = 0: x = -\frac{\pi}{12}$.
При $n = 1: x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$.

Для второй серии решений $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{7\pi}{12} + \pi n \le \pi$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{7}{12} + n \le 1$.

Вычтем из всех частей $\frac{7}{12}$: $-\frac{3}{2} - \frac{7}{12} \le n \le 1 - \frac{7}{12}$, что дает $-\frac{25}{12} \le n \le \frac{5}{12}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -2, -1, 0$.

При $n = -2: x = \frac{7\pi}{12} - 2\pi = -\frac{17\pi}{12}$.
При $n = -1: x = \frac{7\pi}{12} - \pi = -\frac{5\pi}{12}$.
При $n = 0: x = \frac{7\pi}{12}$.

Объединяя все найденные корни, получаем искомые значения.

Ответ: $-\frac{17\pi}{12}, -\frac{13\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$.

2) Решим уравнение $\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, общие решения для $3x$ имеют вид:

$3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $3x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, находим общие решения для $x$:

1. $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$
2. $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\frac{3\pi}{2}, \pi]$.

Для первой серии решений $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi$

Разделим на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{1}{9} + \frac{2n}{3} \le 1$.

Вычтем $\frac{1}{9}$: $-\frac{3}{2} - \frac{1}{9} \le \frac{2n}{3} \le 1 - \frac{1}{9}$, что дает $-\frac{29}{18} \le \frac{2n}{3} \le \frac{8}{9}$.

Умножим на $\frac{3}{2}$: $-\frac{29}{12} \le n \le \frac{4}{3}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -2, -1, 0, 1$.

При $n = -2: x = \frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = -\frac{11\pi}{9}$.
При $n = -1: x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9}$.
При $n = 0: x = \frac{\pi}{9}$.
При $n = 1: x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}$.

Для второй серии решений $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi$.

Разделим на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{2}{9} + \frac{2n}{3} \le 1$.

Вычтем $\frac{2}{9}$: $-\frac{3}{2} - \frac{2}{9} \le \frac{2n}{3} \le 1 - \frac{2}{9}$, что дает $-\frac{31}{18} \le \frac{2n}{3} \le \frac{7}{9}$.

Умножим на $\frac{3}{2}$: $-\frac{31}{12} \le n \le \frac{7}{6}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -2, -1, 0, 1$.

При $n = -2: x = \frac{2\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = -\frac{10\pi}{9}$.
При $n = -1: x = \frac{2\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{9}$.
При $n = 0: x = \frac{2\pi}{9}$.
При $n = 1: x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{9}$.

Объединяя все найденные корни и располагая их в порядке возрастания, получаем.

Ответ: $-\frac{11\pi}{9}, -\frac{10\pi}{9}, -\frac{5\pi}{9}, -\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{8\pi}{9}$.