Номер 61, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 61, страница 27.

Условие.

61. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:

1) $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{\pi}{9} $;

2) $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ \cos \frac{9\pi}{8} $;

3) $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \cos \frac{5\pi}{14} $;

4) $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \cos \frac{3\pi}{10} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{\pi}{9} $.

Воспользуемся формулой приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $.

Выразим косинус через синус:

$ \cos \frac{\pi}{9} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{9\pi - 2\pi}{18}) = \sin \frac{7\pi}{18} $.

Теперь задача сводится к сравнению $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \sin \frac{7\pi}{18} $.

Сравним аргументы: $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{18} $. Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} $.

Так как $ 2\pi < 7\pi $, то $ \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} $, следовательно, $ \frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{18} $ принадлежат первой четверти, то есть интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ возрастает. Поэтому, большему значению аргумента соответствует большее значение синуса.

Из $ \frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18} $ следует, что $ \sin \frac{\pi}{9} < \sin \frac{7\pi}{18} $.

Значит, $ \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} $.

2) Сравнить числа $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ \cos \frac{9\pi}{8} $.

Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{9\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{9\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi - 9\pi}{8}) = \sin(-\frac{5\pi}{8}) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), то $ \sin(-\frac{5\pi}{8}) = -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Теперь нужно сравнить $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Преобразуем $ \sin \frac{9\pi}{8} $ с помощью формулы приведения:

$ \sin \frac{9\pi}{8} = \sin(\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin \frac{\pi}{8} $.

Задача сводится к сравнению $ -\sin \frac{\pi}{8} $ и $ -\sin \frac{5\pi}{8} $. Это эквивалентно сравнению $ \sin \frac{5\pi}{8} $ и $ \sin \frac{\pi}{8} $ (при умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный).

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{5\pi}{8} $. Очевидно, $ \frac{\pi}{8} < \frac{5\pi}{8} $.

Угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в первой четверти. Угол $ \frac{5\pi}{8} $ находится во второй четверти. Чтобы сравнить их синусы, приведем $ \sin \frac{5\pi}{8} $ к углу в первой четверти:

$ \sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8} $.

Теперь сравниваем $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \sin \frac{3\pi}{8} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{3\pi}{8} $ находятся в интервале $ (0; \frac{\pi}{2}) $, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Так как $ \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} $, то $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{3\pi}{8} $.

Следовательно, $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8} $.

Умножив обе части на -1, получаем $ -\sin \frac{\pi}{8} > -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Таким образом, $ \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} $.

Ответ: $ \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} $.

3) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \cos \frac{5\pi}{14} $.

Выразим косинус через синус по формуле приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{5\pi}{14} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \sin(\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \sin \frac{2\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7} $.

Сравниваем $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \sin \frac{\pi}{7} $.

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{7} $. Так как $ 5 < 7 $, то $ \frac{1}{5} > \frac{1}{7} $, а значит $ \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{7} $ принадлежат интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $, на котором функция $ y = \sin x $ возрастает.

Поскольку $ \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} $, то $ \sin \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{7} $.

Следовательно, $ \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14} $.

4) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \cos \frac{3\pi}{10} $.

Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{3\pi}{10} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5} $.

Теперь необходимо сравнить $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \sin \frac{\pi}{5} $.

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{5} $. Так как $ 8 > 5 $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{5} $, а значит $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{5} $ находятся в первой четверти (интервал $ (0; \frac{\pi}{2}) $), где функция $ y = \sin x $ является возрастающей.

Из того, что $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5} $, следует, что $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{\pi}{5} $.

Таким образом, $ \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10} $.