Номер 61, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 61, страница 27.
№61 (с. 27)
Условие. №61 (с. 27)
скриншот условия

61. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:
1) $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{\pi}{9} $;
2) $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ \cos \frac{9\pi}{8} $;
3) $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \cos \frac{5\pi}{14} $;
4) $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \cos \frac{3\pi}{10} $.
Решение 1. №61 (с. 27)




Решение 2. №61 (с. 27)

Решение 3. №61 (с. 27)
1) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{\pi}{9} $.
Воспользуемся формулой приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $.
Выразим косинус через синус:
$ \cos \frac{\pi}{9} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{9\pi - 2\pi}{18}) = \sin \frac{7\pi}{18} $.
Теперь задача сводится к сравнению $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \sin \frac{7\pi}{18} $.
Сравним аргументы: $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{18} $. Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} $.
Так как $ 2\pi < 7\pi $, то $ \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} $, следовательно, $ \frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18} $.
Оба угла $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{18} $ принадлежат первой четверти, то есть интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ возрастает. Поэтому, большему значению аргумента соответствует большее значение синуса.
Из $ \frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18} $ следует, что $ \sin \frac{\pi}{9} < \sin \frac{7\pi}{18} $.
Значит, $ \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} $.
Ответ: $ \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} $.
2) Сравнить числа $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ \cos \frac{9\pi}{8} $.
Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:
$ \cos \frac{9\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{9\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi - 9\pi}{8}) = \sin(-\frac{5\pi}{8}) $.
Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), то $ \sin(-\frac{5\pi}{8}) = -\sin \frac{5\pi}{8} $.
Теперь нужно сравнить $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ -\sin \frac{5\pi}{8} $.
Преобразуем $ \sin \frac{9\pi}{8} $ с помощью формулы приведения:
$ \sin \frac{9\pi}{8} = \sin(\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin \frac{\pi}{8} $.
Задача сводится к сравнению $ -\sin \frac{\pi}{8} $ и $ -\sin \frac{5\pi}{8} $. Это эквивалентно сравнению $ \sin \frac{5\pi}{8} $ и $ \sin \frac{\pi}{8} $ (при умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный).
Сравним аргументы $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{5\pi}{8} $. Очевидно, $ \frac{\pi}{8} < \frac{5\pi}{8} $.
Угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в первой четверти. Угол $ \frac{5\pi}{8} $ находится во второй четверти. Чтобы сравнить их синусы, приведем $ \sin \frac{5\pi}{8} $ к углу в первой четверти:
$ \sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8} $.
Теперь сравниваем $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \sin \frac{3\pi}{8} $.
Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{3\pi}{8} $ находятся в интервале $ (0; \frac{\pi}{2}) $, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Так как $ \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} $, то $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{3\pi}{8} $.
Следовательно, $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8} $.
Умножив обе части на -1, получаем $ -\sin \frac{\pi}{8} > -\sin \frac{5\pi}{8} $.
Таким образом, $ \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} $.
Ответ: $ \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} $.
3) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \cos \frac{5\pi}{14} $.
Выразим косинус через синус по формуле приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:
$ \cos \frac{5\pi}{14} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \sin(\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \sin \frac{2\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7} $.
Сравниваем $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \sin \frac{\pi}{7} $.
Сравним аргументы $ \frac{\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{7} $. Так как $ 5 < 7 $, то $ \frac{1}{5} > \frac{1}{7} $, а значит $ \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} $.
Оба угла $ \frac{\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{7} $ принадлежат интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $, на котором функция $ y = \sin x $ возрастает.
Поскольку $ \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} $, то $ \sin \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{7} $.
Следовательно, $ \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14} $.
Ответ: $ \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14} $.
4) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \cos \frac{3\pi}{10} $.
Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:
$ \cos \frac{3\pi}{10} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5} $.
Теперь необходимо сравнить $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \sin \frac{\pi}{5} $.
Сравним аргументы $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{5} $. Так как $ 8 > 5 $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{5} $, а значит $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5} $.
Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{5} $ находятся в первой четверти (интервал $ (0; \frac{\pi}{2}) $), где функция $ y = \sin x $ является возрастающей.
Из того, что $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5} $, следует, что $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{\pi}{5} $.
Таким образом, $ \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10} $.
Ответ: $ \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 61 расположенного на странице 27 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №61 (с. 27), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.