Номер 61, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 61, страница 27.

№61 (с. 27)
Условие. №61 (с. 27)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 27, номер 61, Условие

61. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:

1) $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{\pi}{9} $;

2) $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ \cos \frac{9\pi}{8} $;

3) $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \cos \frac{5\pi}{14} $;

4) $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \cos \frac{3\pi}{10} $.

Решение 1. №61 (с. 27)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 27, номер 61, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 27, номер 61, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 27, номер 61, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 27, номер 61, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №61 (с. 27)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 27, номер 61, Решение 2
Решение 3. №61 (с. 27)

1) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{\pi}{9} $.

Воспользуемся формулой приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $.

Выразим косинус через синус:

$ \cos \frac{\pi}{9} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{9\pi - 2\pi}{18}) = \sin \frac{7\pi}{18} $.

Теперь задача сводится к сравнению $ \sin \frac{\pi}{9} $ и $ \sin \frac{7\pi}{18} $.

Сравним аргументы: $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{18} $. Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} $.

Так как $ 2\pi < 7\pi $, то $ \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} $, следовательно, $ \frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{18} $ принадлежат первой четверти, то есть интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ возрастает. Поэтому, большему значению аргумента соответствует большее значение синуса.

Из $ \frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{18} $ следует, что $ \sin \frac{\pi}{9} < \sin \frac{7\pi}{18} $.

Значит, $ \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} $.

2) Сравнить числа $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ \cos \frac{9\pi}{8} $.

Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{9\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{9\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi - 9\pi}{8}) = \sin(-\frac{5\pi}{8}) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), то $ \sin(-\frac{5\pi}{8}) = -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Теперь нужно сравнить $ \sin \frac{9\pi}{8} $ и $ -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Преобразуем $ \sin \frac{9\pi}{8} $ с помощью формулы приведения:

$ \sin \frac{9\pi}{8} = \sin(\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin \frac{\pi}{8} $.

Задача сводится к сравнению $ -\sin \frac{\pi}{8} $ и $ -\sin \frac{5\pi}{8} $. Это эквивалентно сравнению $ \sin \frac{5\pi}{8} $ и $ \sin \frac{\pi}{8} $ (при умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный).

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{5\pi}{8} $. Очевидно, $ \frac{\pi}{8} < \frac{5\pi}{8} $.

Угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в первой четверти. Угол $ \frac{5\pi}{8} $ находится во второй четверти. Чтобы сравнить их синусы, приведем $ \sin \frac{5\pi}{8} $ к углу в первой четверти:

$ \sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8} $.

Теперь сравниваем $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \sin \frac{3\pi}{8} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{3\pi}{8} $ находятся в интервале $ (0; \frac{\pi}{2}) $, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Так как $ \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} $, то $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{3\pi}{8} $.

Следовательно, $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8} $.

Умножив обе части на -1, получаем $ -\sin \frac{\pi}{8} > -\sin \frac{5\pi}{8} $.

Таким образом, $ \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} $.

Ответ: $ \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} $.

3) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \cos \frac{5\pi}{14} $.

Выразим косинус через синус по формуле приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{5\pi}{14} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \sin(\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \sin \frac{2\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7} $.

Сравниваем $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \sin \frac{\pi}{7} $.

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{7} $. Так как $ 5 < 7 $, то $ \frac{1}{5} > \frac{1}{7} $, а значит $ \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{7} $ принадлежат интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $, на котором функция $ y = \sin x $ возрастает.

Поскольку $ \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} $, то $ \sin \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{7} $.

Следовательно, $ \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14} $.

4) Сравнить числа $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \cos \frac{3\pi}{10} $.

Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos \frac{3\pi}{10} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5} $.

Теперь необходимо сравнить $ \sin \frac{\pi}{8} $ и $ \sin \frac{\pi}{5} $.

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{5} $. Так как $ 8 > 5 $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{5} $, а значит $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5} $.

Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{5} $ находятся в первой четверти (интервал $ (0; \frac{\pi}{2}) $), где функция $ y = \sin x $ является возрастающей.

Из того, что $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5} $, следует, что $ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{\pi}{5} $.

Таким образом, $ \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10} $.

Ответ: $ \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10} $.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 61 расположенного на странице 27 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №61 (с. 27), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.