Номер 57, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 57, страница 27.

Условие.

57. С помощью свойств возрастания или убывания функции $y=\sin x$ сравнить числа:

1) $\sin \frac{7\pi}{10}$ и $\sin \frac{13\pi}{10}$;

2) $\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{11\pi}{7}$;

3) $\sin \left(-\frac{8\pi}{7}\right)$ и $\sin \left(-\frac{9\pi}{8}\right)$;

4) $\sin 7$ и $\sin 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для сравнения чисел $sin(\frac{7\pi}{10})$ и $sin(\frac{13\pi}{10})$ воспользуемся свойствами функции $y = \sin x$. Эта функция является убывающей на промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Чтобы проверить, принадлежат ли аргументы $\frac{7\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$ этому промежутку, приведем концы промежутка к общему знаменателю 10: $\frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{10}$. Мы видим, что выполняется неравенство: $\frac{5\pi}{10} < \frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10} < \frac{15\pi}{10}$. Следовательно, оба аргумента находятся на промежутке убывания функции $y=\sin x$. Сравним сами аргументы: $\frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$. Для убывающей функции, чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции. Поэтому, $sin(\frac{7\pi}{10}) > sin(\frac{13\pi}{10})$.

Ответ: $sin(\frac{7\pi}{10}) > sin(\frac{13\pi}{10})$.

2) Для сравнения чисел $sin(\frac{13\pi}{7})$ и $sin(\frac{11\pi}{7})$ используем свойство периодичности функции синус: $\sin(\alpha) = \sin(\alpha - 2\pi)$. Приведем аргументы к более удобному для анализа промежутку: $sin(\frac{13\pi}{7}) = sin(\frac{13\pi}{7} - 2\pi) = sin(\frac{13\pi - 14\pi}{7}) = sin(-\frac{\pi}{7})$. $sin(\frac{11\pi}{7}) = sin(\frac{11\pi}{7} - 2\pi) = sin(\frac{11\pi - 14\pi}{7}) = sin(-\frac{3\pi}{7})$. Теперь задача сводится к сравнению $sin(-\frac{\pi}{7})$ и $sin(-\frac{3\pi}{7})$. Функция $y = \sin x$ является возрастающей на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Проверим, что наши новые аргументы принадлежат этому промежутку. Конец промежутка $-\frac{\pi}{2} = -\frac{3.5\pi}{7}$. Так как $-\frac{3.5\pi}{7} < -\frac{3\pi}{7} < -\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, оба аргумента принадлежат промежутку возрастания. Сравним аргументы: $-\frac{3\pi}{7} < -\frac{\pi}{7}$. Для возрастающей функции, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции. Следовательно, $sin(-\frac{3\pi}{7}) < sin(-\frac{\pi}{7})$, а значит $sin(\frac{11\pi}{7}) < sin(\frac{13\pi}{7})$.

Ответ: $sin(\frac{13\pi}{7}) > sin(\frac{11\pi}{7})$.

3) Для сравнения чисел $sin(-\frac{8\pi}{7})$ и $sin(-\frac{9\pi}{8})$ определим промежуток монотонности, содержащий оба аргумента. Функция $y = \sin x$ является убывающей на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. Оценим значения аргументов: $-\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi$ и $-\frac{\pi}{2} = -0.5\pi$. $-\frac{8\pi}{7} \approx -1.14\pi$ и $-\frac{9\pi}{8} = -1.125\pi$. Оба значения находятся в интервале $[-1.5\pi, -0.5\pi]$, то есть на промежутке убывания функции. Теперь сравним аргументы. Приведем их к общему знаменателю 56: $-\frac{8\pi}{7} = -\frac{64\pi}{56}$ $-\frac{9\pi}{8} = -\frac{63\pi}{56}$ Поскольку $-64 < -63$, то $-\frac{64\pi}{56} < -\frac{63\pi}{56}$, а это значит, что $-\frac{8\pi}{7} < -\frac{9\pi}{8}$. Так как на этом промежутке функция $y=\sin x$ убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $sin(-\frac{8\pi}{7}) > sin(-\frac{9\pi}{8})$.

Ответ: $sin(-\frac{8\pi}{7}) > sin(-\frac{9\pi}{8})$.

4) Для сравнения чисел $sin(7)$ и $sin(6)$, где аргументы заданы в радианах, найдем промежуток монотонности для функции $y=\sin x$. Функция $y=\sin x$ является возрастающей на промежутке $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$: $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14159}{2} \approx 4.712$. $\frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \cdot 3.14159}{2} \approx 7.854$. Промежуток возрастания aproximadamente $[4.712, 7.854]$. Аргументы 6 и 7 оба принадлежат этому промежутку, поскольку $4.712 < 6 < 7 < 7.854$. Сравним аргументы: $6 < 7$. Поскольку на данном промежутке функция $y=\sin x$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $sin(6) < sin(7)$.

Ответ: $sin(7) > sin(6)$.