Номер 52, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 52, страница 26.

Условие.

52. Найти значения функции $y = \sin 2x$ при:

1) $x = \frac{\pi}{4}$;

2) $x = \frac{\pi}{3}$;

3) $x = -\frac{2\pi}{3}$;

4) $x = -\frac{5\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти значение функции $y = \sin 2x$ при $x = \frac{\pi}{4}$, необходимо подставить данное значение $x$ в уравнение функции:

$y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{2\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2})$

Согласно таблице значений тригонометрических функций, синус угла $\frac{\pi}{2}$ (или 90°) равен 1.

$y = 1$

Ответ: 1

2) Подставим значение $x = \frac{\pi}{3}$ в функцию $y = \sin 2x$:

$y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3})$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти. Для нахождения его синуса можно использовать формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.

$y = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (или 60°) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Подставим значение $x = -\frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = \sin 2x$:

$y = \sin(2 \cdot (-\frac{2\pi}{3})) = \sin(-\frac{4\pi}{3})$

Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$. Поэтому:

$y = -\sin(\frac{4\pi}{3})$

Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьей четверти. Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$.

$y = -\sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3})$

Подставляем табличное значение:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Подставим значение $x = -\frac{5\pi}{6}$ в функцию $y = \sin 2x$:

$y = \sin(2 \cdot (-\frac{5\pi}{6})) = \sin(-\frac{10\pi}{6}) = \sin(-\frac{5\pi}{3})$

Используя свойство нечетности функции синус:

$y = -\sin(\frac{5\pi}{3})$

Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти. Можно воспользоваться периодичностью синуса и свойством нечетности или формулой приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha$.

$y = -\sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3})$

Подставляем табличное значение:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$