Страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

51. (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$, принадлежащих отрезку $[0; 3\pi]$, функция $y = \sin x$ принимает:

1) значение, равное 0, 1, –1;

2) положительные значения;

3) отрицательные значения.

Для решения задачи необходимо проанализировать поведение функции $y = \sin x$ на заданном отрезке $[0; 3\pi]$. Этот отрезок соответствует одному полному обороту по единичной окружности (от $0$ до $2\pi$) и ещё полуобороту (от $2\pi$ до $3\pi$).

1) значение, равное 0, 1, –1;

Найдём значения $x$ из отрезка $[0; 3\pi]$ для каждого случая.

• Решим уравнение $y = \sin x = 0$.
  Общее решение этого уравнения имеет вид $x = k\pi$, где $k$ — целое число.
  Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
  $0 \le k\pi \le 3\pi$
  $0 \le k \le 3$
  Подходящие значения $k$: 0, 1, 2, 3.
  Следовательно, искомые значения $x$: $0, \pi, 2\pi, 3\pi$.
• Решим уравнение $y = \sin x = 1$.
  Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.
  Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
  $0 \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le 3\pi$
  $-\frac{\pi}{2} \le 2k\pi \le 3\pi - \frac{\pi}{2}$
  $-\frac{\pi}{2} \le 2k\pi \le \frac{5\pi}{2}$
  $-\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$ (т.е. $-0.25 \le k \le 1.25$)
  Подходящие значения $k$: 0, 1.
  При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$.
  При $k=1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$.
  Искомые значения $x$: $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$.
• Решим уравнение $y = \sin x = -1$.
  Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ или $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.
  Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
  $0 \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \le 3\pi$
  $-\frac{3\pi}{2} \le 2k\pi \le 3\pi - \frac{3\pi}{2}$
  $-\frac{3\pi}{2} \le 2k\pi \le \frac{3\pi}{2}$
  $-\frac{3}{4} \le k \le \frac{3}{4}$ (т.е. $-0.75 \le k \le 0.75$)
  Подходящее значение $k$: 0.
  При $k=0$ получаем $x = \frac{3\pi}{2}$.
  Искомое значение $x$: $\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: функция принимает значение, равное 0, при $x \in \{0, \pi, 2\pi, 3\pi\}$; значение, равное 1, при $x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\}$; значение, равное –1, при $x = \frac{3\pi}{2}$.

2) положительные значения;

Функция $y = \sin x$ принимает положительные значения ($\sin x > 0$), когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти. Общее решение этого неравенства: $x \in (2k\pi; \pi + 2k\pi)$, где $k$ — целое число.
Найдём интервалы, попадающие в отрезок $[0; 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем интервал $(0; \pi)$. Он полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем интервал $(2\pi; 3\pi)$. Он также полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: интервал $(4\pi; 5\pi)$, который находится за пределами отрезка $[0; 3\pi]$.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (0; \pi) \cup (2\pi; 3\pi)$.

3) отрицательные значения.

Функция $y = \sin x$ принимает отрицательные значения ($\sin x < 0$), когда угол $x$ находится в III или IV координатной четверти. Общее решение этого неравенства: $x \in (\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$, где $k$ — целое число.
Найдём интервалы, попадающие в отрезок $[0; 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем интервал $(\pi; 2\pi)$. Он полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем интервал $(3\pi; 4\pi)$. Он начинается в конечной точке нашего отрезка, поэтому пересечение пусто.

Таким образом, функция отрицательна на одном интервале.
Ответ: $x \in (\pi; 2\pi)$.

52. Найти значения функции $y = \sin 2x$ при:

1) $x = \frac{\pi}{4}$;

2) $x = \frac{\pi}{3}$;

3) $x = -\frac{2\pi}{3}$;

4) $x = -\frac{5\pi}{6}$.

1) Чтобы найти значение функции $y = \sin 2x$ при $x = \frac{\pi}{4}$, необходимо подставить данное значение $x$ в уравнение функции:

$y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{2\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2})$

Согласно таблице значений тригонометрических функций, синус угла $\frac{\pi}{2}$ (или 90°) равен 1.

$y = 1$

Ответ: 1

2) Подставим значение $x = \frac{\pi}{3}$ в функцию $y = \sin 2x$:

$y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3})$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти. Для нахождения его синуса можно использовать формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.

$y = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (или 60°) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Подставим значение $x = -\frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = \sin 2x$:

$y = \sin(2 \cdot (-\frac{2\pi}{3})) = \sin(-\frac{4\pi}{3})$

Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$. Поэтому:

$y = -\sin(\frac{4\pi}{3})$

Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьей четверти. Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$.

$y = -\sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3})$

Подставляем табличное значение:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Подставим значение $x = -\frac{5\pi}{6}$ в функцию $y = \sin 2x$:

$y = \sin(2 \cdot (-\frac{5\pi}{6})) = \sin(-\frac{10\pi}{6}) = \sin(-\frac{5\pi}{3})$

Используя свойство нечетности функции синус:

$y = -\sin(\frac{5\pi}{3})$

Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти. Можно воспользоваться периодичностью синуса и свойством нечетности или формулой приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha$.

$y = -\sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3})$

Подставляем табличное значение:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

53. Найти значения функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при:

1) $x = -\frac{\pi}{2}$;2) $x = \frac{3\pi}{4}$;3) $x = -\frac{10\pi}{3}$;4) $x = -\frac{19\pi}{4}$.

1) Найдем значение функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при $x = -\frac{\pi}{2}$.
Подставляем значение $x$ в функцию:$y = \frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{2})}$.
Сначала найдем значение $\sin(-\frac{\pi}{2})$. Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$.
Поэтому, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Известно, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Теперь возведем это значение в квадрат:$\sin^2(-\frac{\pi}{2}) = (-1)^2 = 1$.
Подставляем полученное значение в исходное выражение для $y$:$y = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: 1.

2) Найдем значение функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при $x = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем значение $x$ в функцию:$y = \frac{1}{\sin^2(\frac{3\pi}{4})}$.
Найдем значение $\sin(\frac{3\pi}{4})$. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь возводим это значение в квадрат:$\sin^2(\frac{3\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем полученное значение в выражение для $y$:$y = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Ответ: 2.

3) Найдем значение функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при $x = -\frac{10\pi}{3}$.
Подставляем значение $x$ в функцию:$y = \frac{1}{\sin^2(-\frac{10\pi}{3})}$.
Функция $y = \sin^2(x)$ является четной, так как $\sin^2(-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.
Поэтому $\sin^2(-\frac{10\pi}{3}) = \sin^2(\frac{10\pi}{3})$.
Также функция $\sin^2(x)$ является периодической с периодом $\pi$. Используем это свойство для упрощения аргумента.
Представим $\frac{10\pi}{3}$ в виде $k\pi + \alpha$, где $k$ - целое число:$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\sin^2(\frac{10\pi}{3}) = \sin^2(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin^2(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Возводим в квадрат:$\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
Подставляем полученное значение в выражение для $y$:$y = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

4) Найдем значение функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при $x = -\frac{19\pi}{4}$.
Подставляем значение $x$ в функцию:$y = \frac{1}{\sin^2(-\frac{19\pi}{4})}$.
Так как функция $\sin^2(x)$ четная, $\sin^2(-\frac{19\pi}{4}) = \sin^2(\frac{19\pi}{4})$.
Используем периодичность функции $\sin^2(x)$ с периодом $\pi$. Выделим целое число периодов в аргументе.
$\frac{19\pi}{4} = \frac{16\pi + 3\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, $\sin^2(\frac{19\pi}{4}) = \sin^2(4\pi + \frac{3\pi}{4}) = \sin^2(\frac{3\pi}{4})$.
Значение $\sin^2(\frac{3\pi}{4})$ было найдено в пункте 2): $\sin^2(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
Подставляем это значение в выражение для $y$:$y = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Ответ: 2.

54. Выяснить, принадлежат ли графику функции $y = \sin x$ точки с координатами:

1) $(-\frac{\pi}{2}; 0)$

2) $(\frac{\pi}{2}; 1)$

3) $(\frac{3\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

4) $(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Чтобы выяснить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0, y_0)$ графику функции $y = \sin x$, необходимо подставить координату $x_0$ в уравнение функции и проверить, совпадает ли полученное значение $y$ с координатой $y_0$. То есть, нужно проверить истинность равенства $y_0 = \sin(x_0)$.

1) Проверим точку с координатами $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

Подставляем $x = -\frac{\pi}{2}$ в функцию $y = \sin x$:

$y = \sin(-\frac{\pi}{2})$

Используя свойство нечетности функции синус, $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:

$y = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Полученное значение $y = -1$ не совпадает с ординатой точки $y = 0$, так как равенство $-1 = 0$ ложно.

Ответ: точка не принадлежит графику функции.

2) Проверим точку с координатами $(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию $y = \sin x$:

$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Полученное значение $y = 1$ совпадает с ординатой точки $y = 1$, так как равенство $1 = 1$ истинно.

Ответ: точка принадлежит графику функции.

3) Проверим точку с координатами $(\frac{3\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Подставляем $x = \frac{3\pi}{4}$ в функцию $y = \sin x$:

$y = \sin(\frac{3\pi}{4})$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - a) = \sin(a)$, получаем:

$y = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Полученное значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ не совпадает с ординатой точки $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, так как равенство $\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ ложно.

Ответ: точка не принадлежит графику функции.

4) Проверим точку с координатами $(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = \sin x$:

$y = \sin(\frac{2\pi}{3})$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - a) = \sin(a)$, получаем:

$y = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Полученное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ совпадает с ординатой точки $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, так как равенство $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ истинно.

Ответ: точка принадлежит графику функции.