Номер 51, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 51, страница 26.

Условие.

51. (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$, принадлежащих отрезку $[0; 3\pi]$, функция $y = \sin x$ принимает:

1) значение, равное 0, 1, –1;

2) положительные значения;

3) отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо проанализировать поведение функции $y = \sin x$ на заданном отрезке $[0; 3\pi]$. Этот отрезок соответствует одному полному обороту по единичной окружности (от $0$ до $2\pi$) и ещё полуобороту (от $2\pi$ до $3\pi$).

1) значение, равное 0, 1, –1;

Найдём значения $x$ из отрезка $[0; 3\pi]$ для каждого случая.

• Решим уравнение $y = \sin x = 0$.
  Общее решение этого уравнения имеет вид $x = k\pi$, где $k$ — целое число.
  Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
  $0 \le k\pi \le 3\pi$
  $0 \le k \le 3$
  Подходящие значения $k$: 0, 1, 2, 3.
  Следовательно, искомые значения $x$: $0, \pi, 2\pi, 3\pi$.
• Решим уравнение $y = \sin x = 1$.
  Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.
  Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
  $0 \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le 3\pi$
  $-\frac{\pi}{2} \le 2k\pi \le 3\pi - \frac{\pi}{2}$
  $-\frac{\pi}{2} \le 2k\pi \le \frac{5\pi}{2}$
  $-\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$ (т.е. $-0.25 \le k \le 1.25$)
  Подходящие значения $k$: 0, 1.
  При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$.
  При $k=1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$.
  Искомые значения $x$: $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$.
• Решим уравнение $y = \sin x = -1$.
  Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ или $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.
  Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
  $0 \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \le 3\pi$
  $-\frac{3\pi}{2} \le 2k\pi \le 3\pi - \frac{3\pi}{2}$
  $-\frac{3\pi}{2} \le 2k\pi \le \frac{3\pi}{2}$
  $-\frac{3}{4} \le k \le \frac{3}{4}$ (т.е. $-0.75 \le k \le 0.75$)
  Подходящее значение $k$: 0.
  При $k=0$ получаем $x = \frac{3\pi}{2}$.
  Искомое значение $x$: $\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: функция принимает значение, равное 0, при $x \in \{0, \pi, 2\pi, 3\pi\}$; значение, равное 1, при $x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\}$; значение, равное –1, при $x = \frac{3\pi}{2}$.

2) положительные значения;

Функция $y = \sin x$ принимает положительные значения ($\sin x > 0$), когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти. Общее решение этого неравенства: $x \in (2k\pi; \pi + 2k\pi)$, где $k$ — целое число.
Найдём интервалы, попадающие в отрезок $[0; 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем интервал $(0; \pi)$. Он полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем интервал $(2\pi; 3\pi)$. Он также полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: интервал $(4\pi; 5\pi)$, который находится за пределами отрезка $[0; 3\pi]$.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (0; \pi) \cup (2\pi; 3\pi)$.

3) отрицательные значения.

Функция $y = \sin x$ принимает отрицательные значения ($\sin x < 0$), когда угол $x$ находится в III или IV координатной четверти. Общее решение этого неравенства: $x \in (\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$, где $k$ — целое число.
Найдём интервалы, попадающие в отрезок $[0; 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем интервал $(\pi; 2\pi)$. Он полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем интервал $(3\pi; 4\pi)$. Он начинается в конечной точке нашего отрезка, поэтому пересечение пусто.

Таким образом, функция отрицательна на одном интервале.
Ответ: $x \in (\pi; 2\pi)$.