Номер 51, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 51, страница 26.
№51 (с. 26)
Условие. №51 (с. 26)
скриншот условия

51. (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$, принадлежащих отрезку $[0; 3\pi]$, функция $y = \sin x$ принимает:
1) значение, равное 0, 1, –1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
Решение 1. №51 (с. 26)

Решение 2. №51 (с. 26)

Решение 3. №51 (с. 26)
Для решения задачи необходимо проанализировать поведение функции $y = \sin x$ на заданном отрезке $[0; 3\pi]$. Этот отрезок соответствует одному полному обороту по единичной окружности (от $0$ до $2\pi$) и ещё полуобороту (от $2\pi$ до $3\pi$).
1) значение, равное 0, 1, –1;
Найдём значения $x$ из отрезка $[0; 3\pi]$ для каждого случая.
- Решим уравнение $y = \sin x = 0$.
Общее решение этого уравнения имеет вид $x = k\pi$, где $k$ — целое число.
Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
$0 \le k\pi \le 3\pi$
$0 \le k \le 3$
Подходящие значения $k$: 0, 1, 2, 3.
Следовательно, искомые значения $x$: $0, \pi, 2\pi, 3\pi$. - Решим уравнение $y = \sin x = 1$.
Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.
Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
$0 \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le 3\pi$
$-\frac{\pi}{2} \le 2k\pi \le 3\pi - \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} \le 2k\pi \le \frac{5\pi}{2}$
$-\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$ (т.е. $-0.25 \le k \le 1.25$)
Подходящие значения $k$: 0, 1.
При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$.
При $k=1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$.
Искомые значения $x$: $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$. - Решим уравнение $y = \sin x = -1$.
Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ или $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.
Найдём все целые $k$, для которых $x$ принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$:
$0 \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \le 3\pi$
$-\frac{3\pi}{2} \le 2k\pi \le 3\pi - \frac{3\pi}{2}$
$-\frac{3\pi}{2} \le 2k\pi \le \frac{3\pi}{2}$
$-\frac{3}{4} \le k \le \frac{3}{4}$ (т.е. $-0.75 \le k \le 0.75$)
Подходящее значение $k$: 0.
При $k=0$ получаем $x = \frac{3\pi}{2}$.
Искомое значение $x$: $\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: функция принимает значение, равное 0, при $x \in \{0, \pi, 2\pi, 3\pi\}$; значение, равное 1, при $x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\}$; значение, равное –1, при $x = \frac{3\pi}{2}$.
2) положительные значения;
Функция $y = \sin x$ принимает положительные значения ($\sin x > 0$), когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти. Общее решение этого неравенства: $x \in (2k\pi; \pi + 2k\pi)$, где $k$ — целое число.
Найдём интервалы, попадающие в отрезок $[0; 3\pi]$:
- При $k=0$: получаем интервал $(0; \pi)$. Он полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
- При $k=1$: получаем интервал $(2\pi; 3\pi)$. Он также полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
- При $k=2$: интервал $(4\pi; 5\pi)$, который находится за пределами отрезка $[0; 3\pi]$.
Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (0; \pi) \cup (2\pi; 3\pi)$.
3) отрицательные значения.
Функция $y = \sin x$ принимает отрицательные значения ($\sin x < 0$), когда угол $x$ находится в III или IV координатной четверти. Общее решение этого неравенства: $x \in (\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$, где $k$ — целое число.
Найдём интервалы, попадающие в отрезок $[0; 3\pi]$:
- При $k=0$: получаем интервал $(\pi; 2\pi)$. Он полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
- При $k=1$: получаем интервал $(3\pi; 4\pi)$. Он начинается в конечной точке нашего отрезка, поэтому пересечение пусто.
Таким образом, функция отрицательна на одном интервале.
Ответ: $x \in (\pi; 2\pi)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 51 расположенного на странице 26 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №51 (с. 26), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.