Номер 49, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 49, страница 22.

Условие.

49. В одной системе координат построить графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы построить графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ в одной системе координат, необходимо сначала проанализировать и, если возможно, упростить вторую функцию, а затем сравнить обе функции.

1. Анализ и упрощение функции $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$

Сначала найдем область определения данной функции. В выражении присутствует тангенс, $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, который определен только тогда, когда $\cos x \neq 0$. Это условие нарушается в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ): $x \in \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.

Далее, упростим само выражение. Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус:
$1 + \tg^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$
Подставим это тождество в нашу функцию:
$y = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}}}$
При извлечении квадратного корня из знаменателя важно помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно:
$\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\cos^2 x}} = \frac{1}{|\cos x|}$
Теперь подставим это обратно в выражение для $y$:
$y = \frac{1}{\frac{1}{|\cos x|}} = |\cos x|$

Итак, функция $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ эквивалентна функции $y = |\cos x|$ при условии, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Построение графиков

Теперь мы можем построить оба графика в одной системе координат.
График $y = \cos x$:
Это стандартная косинусоида — периодическая функция с периодом $2\pi$, область значений которой $[-1; 1]$. График проходит через точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$ и так далее.

График $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ (то есть $y=|\cos x|$ с ограничениями):
График функции $y = |\cos x|$ получается из графика $y = \cos x$ следующим образом:
• Части графика $y = \cos x$, расположенные выше или на оси абсцисс (где $\cos x \ge 0$), остаются без изменений.
• Части графика $y = \cos x$, расположенные ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), симметрично отражаются относительно оси абсцисс.
В результате получается график, который никогда не опускается ниже оси Ox. Его область значений $[0; 1]$.
Однако, из-за области определения исходной функции, мы должны исключить точки, где $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. В этих точках значение $|\cos x|$ равно 0. Следовательно, на графике $y = |\cos x|$ эти точки $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$ должны быть "выколоты" (изображены в виде пустых кружков).

3. Итоговое сравнение в одной системе координат

• На интервалах, где $\cos x > 0$ (например, $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$), $|\cos x| = \cos x$. На этих участках графики обеих функций полностью совпадают.
• На интервалах, где $\cos x < 0$ (например, $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$), $|\cos x| = -\cos x$. На этих участках график $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ является зеркальным отражением графика $y = \cos x$ относительно оси Ox.
• В точках, где $\cos x = 0$ ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$), график $y = \cos x$ пересекает ось Ox, а график $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ имеет разрыв (выколотую точку).

Ответ: График функции $y=\cos x$ — это стандартная косинусоида. График функции $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ совпадает с графиком $y = |\cos x|$, но имеет выколотые точки в местах пересечения с осью абсцисс, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ для всех целых $n$. На промежутках, где косинус положителен, графики совпадают; где косинус отрицателен, второй график является отражением первого относительно оси Ox.