Номер 47, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 47, страница 21.

Условие.

47. Построить график и установить свойства функции:

1) $y = 1 + \cos x;$

2) $y = \cos 2x;$

3) $y = 3\cos x;$

4) $y = 2\cos \frac{x}{2};$

5) $y = \frac{\cos 2x}{2} - 1;$

6) $y = 2 - \cos 3x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 1 + \cos x$

Построение графика: График функции $y = 1 + \cos x$ получается из графика функции $y = \cos x$ (стандартной косинусоиды) путем параллельного переноса вдоль оси OY на 1 единицу вверх.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $1-1 \le 1 + \cos x \le 1+1$. Следовательно, $E(y) = [0; 2]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = 2\pi$.
• Четность: $y(-x) = 1 + \cos(-x) = 1 + \cos x = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y \ge 0$ для всех $x$ из области определения, так как область значений $[0; 2]$.
• Промежутки монотонности (на одном периоде $[0; 2\pi]$):
  • возрастает на $[\pi; 2\pi]$;
  • убывает на $[0; \pi]$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 2$ при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
  • $y_{min} = 0$ при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — косинусоида, смещенная на 1 вверх по оси OY. Функция четная, периодическая с периодом $2\pi$. Область значений $E(y) = [0; 2]$. Нули в точках $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $y = \cos 2x$

Построение графика: График функции $y = \cos 2x$ получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия по горизонтали (к оси OY) в 2 раза.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Четность: $y(-x) = \cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos(2x) = y(x)$. Функция является четной.
• Нули функции: $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства (на одном периоде $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$):
  • $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$;
  • $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.
• Промежутки монотонности (на одном периоде $[0; \pi]$):
  • возрастает на $[\frac{\pi}{2}; \pi]$;
  • убывает на $[0; \frac{\pi}{2}]$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 1$ при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
  • $y_{min} = -1$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — косинусоида, сжатая в 2 раза к оси OY. Функция четная, периодическая с периодом $\pi$. Область значений $E(y) = [-1; 1]$. Нули в точках $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

---

3) $y = 3\cos x$

Построение графика: График функции $y = 3\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения по вертикали (от оси OX) в 3 раза.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-3 \le 3\cos x \le 3$. Следовательно, $E(y) = [-3; 3]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = 2\pi$.
• Четность: $y(-x) = 3\cos(-x) = 3\cos x = y(x)$. Функция является четной.
• Нули функции: $3\cos x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства (на одном периоде $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$):
  • $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$;
  • $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.
• Промежутки монотонности (на одном периоде $[0; 2\pi]$):
  • возрастает на $[\pi; 2\pi]$;
  • убывает на $[0; \pi]$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 3$ при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
  • $y_{min} = -3$ при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — косинусоида, растянутая в 3 раза от оси OX. Функция четная, периодическая с периодом $2\pi$. Область значений $E(y) = [-3; 3]$. Нули в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

4) $y = 2\cos \frac{x}{2}$

Построение графика: График функции $y = 2\cos \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения по горизонтали (от оси OY) в 2 раза и растяжения по вертикали (от оси OX) в 2 раза.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-2; 2]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
• Четность: $y(-x) = 2\cos(\frac{-x}{2}) = 2\cos(\frac{x}{2}) = y(x)$. Функция является четной.
• Нули функции: $2\cos \frac{x}{2} = 0 \implies \cos \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства (на одном периоде $[-\pi; 3\pi]$):
  • $y > 0$ при $x \in (-\pi + 4\pi k; \pi + 4\pi k)$;
  • $y < 0$ при $x \in (\pi + 4\pi k; 3\pi + 4\pi k)$.
• Промежутки монотонности (на одном периоде $[0; 4\pi]$):
  • возрастает на $[2\pi; 4\pi]$;
  • убывает на $[0; 2\pi]$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 2$ при $x = 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
  • $y_{min} = -2$ при $x = 2\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — косинусоида, растянутая в 2 раза от оси OY и в 2 раза от оси OX. Функция четная, периодическая с периодом $4\pi$. Область значений $E(y) = [-2; 2]$. Нули в точках $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

5) $y = \frac{\cos 2x}{2} - 1$

Построение графика: График функции $y = \frac{\cos 2x}{2} - 1$ получается из графика $y = \cos x$ следующими преобразованиями:

1. Сжатие по горизонтали к оси OY в 2 раза (получаем $y = \cos 2x$).
2. Сжатие по вертикали к оси OX в 2 раза (получаем $y = \frac{1}{2}\cos 2x$).
3. Сдвиг вниз вдоль оси OY на 1 единицу (получаем $y = \frac{1}{2}\cos 2x - 1$).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $-1 \le \cos 2x \le 1 \implies -0.5 \le \frac{\cos 2x}{2} \le 0.5 \implies -1.5 \le \frac{\cos 2x}{2} - 1 \le -0.5$. $E(y) = [-1.5; -0.5]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Четность: $y(-x) = \frac{\cos(2(-x))}{2} - 1 = \frac{\cos 2x}{2} - 1 = y(x)$. Функция является четной.
• Нули функции: $\frac{\cos 2x}{2} - 1 = 0 \implies \cos 2x = 2$. Уравнение не имеет решений. Нулей нет.
• Промежутки знакопостоянства: так как область значений $E(y) = [-1.5; -0.5]$, функция всегда отрицательна, $y < 0$ для всех $x$.
• Промежутки монотонности (на одном периоде $[0; \pi]$):
  • возрастает на $[\frac{\pi}{2}; \pi]$;
  • убывает на $[0; \frac{\pi}{2}]$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = -0.5$ при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
  • $y_{min} = -1.5$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — косинусоида, сжатая в 2 раза по горизонтали и вертикали и сдвинутая на 1 вниз. Функция четная, периодическая с периодом $\pi$. Область значений $E(y) = [-1.5; -0.5]$. Нулей нет. Функция всегда отрицательна.

---

6) $y = 2 - \cos 3x$

Построение графика: График функции $y = 2 - \cos 3x$ получается из графика $y = \cos x$ следующими преобразованиями:

1. Сжатие по горизонтали к оси OY в 3 раза (получаем $y = \cos 3x$).
2. Симметричное отражение относительно оси OX (получаем $y = -\cos 3x$).
3. Сдвиг вверх вдоль оси OY на 2 единицы (получаем $y = 2 - \cos 3x$).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $-1 \le \cos 3x \le 1 \implies -1 \le -\cos 3x \le 1 \implies 1 \le 2 - \cos 3x \le 3$. $E(y) = [1; 3]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = \frac{2\pi}{3}$.
• Четность: $y(-x) = 2 - \cos(3(-x)) = 2 - \cos(3x) = y(x)$. Функция является четной.
• Нули функции: $2 - \cos 3x = 0 \implies \cos 3x = 2$. Уравнение не имеет решений. Нулей нет.
• Промежутки знакопостоянства: так как область значений $E(y) = [1; 3]$, функция всегда положительна, $y > 0$ для всех $x$.
• Промежутки монотонности (на одном периоде $[0; \frac{2\pi}{3}]$):
  • возрастает на $[0; \frac{\pi}{3}]$;
  • убывает на $[\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 3$ при $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$;
  • $y_{min} = 1$ при $x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — косинусоида, сжатая в 3 раза по горизонтали, отраженная относительно оси OX и сдвинутая на 2 вверх. Функция четная, периодическая с периодом $\frac{2\pi}{3}$. Область значений $E(y) = [1; 3]$. Нулей нет. Функция всегда положительна.