Номер 40, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 40, страница 21.

№40 (с. 21)
Условие. №40 (с. 21)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 21, номер 40, Условие

40. Найти все корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, принадлежащие множеству решений неравенства $\log_2 (x-1)<3$.

Решение 1. №40 (с. 21)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 21, номер 40, Решение 1
Решение 2. №40 (с. 21)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 21, номер 40, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 21, номер 40, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №40 (с. 21)

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти множество решений неравенства, а затем из всех корней тригонометрического уравнения выбрать те, которые принадлежат этому множеству.

Решение неравенства

Решим логарифмическое неравенство $ \log_2 (x-1) < 3 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ x-1 > 0 \implies x > 1 $

2. Преобразуем правую часть неравенства к логарифму с основанием 2:

$ 3 = 3 \cdot 1 = 3 \cdot \log_2 2 = \log_2 (2^3) = \log_2 8 $

Неравенство принимает вид:

$ \log_2 (x-1) < \log_2 8 $

3. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 t $ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x - 1 < 8 \implies x < 9 $

4. Объединим полученное решение с ОДЗ ($ x > 1 $):

$ \begin{cases} x > 1 \\ x < 9 \end{cases} $

Таким образом, множество решений неравенства — это интервал $ (1; 9) $.

Ответ: $ x \in (1; 9) $.

Решение тригонометрического уравнения

Решим уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общая формула для его решения:

$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Вычислим значение арккосинуса, используя свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $:

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Подставим это значение в общую формулу. Корни уравнения образуют две серии:

$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Отбор корней, принадлежащих заданному промежутку

Теперь необходимо найти все значения $ x $ из полученных серий, которые лежат в интервале $ (1; 9) $. Для оценки будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.1416 $.

1. Рассмотрим первую серию корней: $ x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Подставим различные целые значения $ n $:

  • При $ n = 0 $: $ x = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.1416}{6} \approx 2.618 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 2.618 < 9 $.
  • При $ n = 1 $: $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx \frac{17 \cdot 3.1416}{6} \approx 8.901 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 8.901 < 9 $.
  • При $ n = 2 $: $ x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx 15.18 > 9 $. Этот корень не подходит, как и все последующие при $ n \ge 2 $.
  • При $ n = -1 $: $ x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} < 1 $. Этот корень не подходит, как и все предыдущие при $ n \le -1 $.

2. Рассмотрим вторую серию корней: $ x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Подставим различные целые значения $ n $:

  • При $ n = 0 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} < 1 $. Корень не подходит.
  • При $ n = 1 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \approx \frac{7 \cdot 3.1416}{6} \approx 3.665 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 3.665 < 9 $.
  • При $ n = 2 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.948 > 9 $. Этот корень не подходит, как и все последующие при $ n \ge 2 $.

В результате отбора мы получили три корня, которые принадлежат множеству решений неравенства.

Ответ: $ \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} $.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 40 расположенного на странице 21 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №40 (с. 21), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.