Номер 40, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 40, страница 21.

Условие.

40. Найти все корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, принадлежащие множеству решений неравенства $\log_2 (x-1)<3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти множество решений неравенства, а затем из всех корней тригонометрического уравнения выбрать те, которые принадлежат этому множеству.

Решение неравенства

Решим логарифмическое неравенство $ \log_2 (x-1) < 3 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ x-1 > 0 \implies x > 1 $

2. Преобразуем правую часть неравенства к логарифму с основанием 2:

$ 3 = 3 \cdot 1 = 3 \cdot \log_2 2 = \log_2 (2^3) = \log_2 8 $

Неравенство принимает вид:

$ \log_2 (x-1) < \log_2 8 $

3. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 t $ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x - 1 < 8 \implies x < 9 $

4. Объединим полученное решение с ОДЗ ($ x > 1 $):

$ \begin{cases} x > 1 \\ x < 9 \end{cases} $

Таким образом, множество решений неравенства — это интервал $ (1; 9) $.

Ответ: $ x \in (1; 9) $.

Решение тригонометрического уравнения

Решим уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общая формула для его решения:

$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Вычислим значение арккосинуса, используя свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $:

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Подставим это значение в общую формулу. Корни уравнения образуют две серии:

$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Отбор корней, принадлежащих заданному промежутку

Теперь необходимо найти все значения $ x $ из полученных серий, которые лежат в интервале $ (1; 9) $. Для оценки будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.1416 $.

1. Рассмотрим первую серию корней: $ x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Подставим различные целые значения $ n $:

• При $ n = 0 $: $ x = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.1416}{6} \approx 2.618 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 2.618 < 9 $.
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx \frac{17 \cdot 3.1416}{6} \approx 8.901 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 8.901 < 9 $.
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx 15.18 > 9 $. Этот корень не подходит, как и все последующие при $ n \ge 2 $.
• При $ n = -1 $: $ x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} < 1 $. Этот корень не подходит, как и все предыдущие при $ n \le -1 $.

2. Рассмотрим вторую серию корней: $ x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Подставим различные целые значения $ n $:

• При $ n = 0 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} < 1 $. Корень не подходит.
• При $ n = 1 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \approx \frac{7 \cdot 3.1416}{6} \approx 3.665 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 3.665 < 9 $.
• При $ n = 2 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.948 > 9 $. Этот корень не подходит, как и все последующие при $ n \ge 2 $.

В результате отбора мы получили три корня, которые принадлежат множеству решений неравенства.

Ответ: $ \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} $.