Номер 34, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 34, страница 20.

Условие.

34. С помощью свойства возрастания или убывания функции
$y = \cos x$ сравнить числа:

1) $\cos \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{8\pi}{9}$;

2) $\cos \frac{8\pi}{7}$ и $\cos \frac{10\pi}{7}$;

3) $\cos \left(-\frac{6\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{\pi}{8}\right)$;

4) $\cos \left(-\frac{8\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{9\pi}{7}\right)$;

5) $\cos 1$ и $\cos 3$;

6) $\cos 4$ и $\cos 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для сравнения значений функции $y = \cos x$ воспользуемся ее свойством монотонности. Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; \pi]$ и возрастает на отрезке $[\pi; 2\pi]$. Это означает, что:

• Если $0 \le x_1 < x_2 \le \pi$, то $\cos x_1 > \cos x_2$.
• Если $\pi \le x_1 < x_2 \le 2\pi$, то $\cos x_1 < \cos x_2$.

Также будем использовать свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos x$.

1) Сравнить $\cos \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{8\pi}{9}$.

Оба аргумента $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ убывает. Сравним аргументы. Приведем дроби к общему знаменателю $63$:
$\frac{\pi}{7} = \frac{9\pi}{63}$
$\frac{8\pi}{9} = \frac{56\pi}{63}$
Так как $\frac{9\pi}{63} < \frac{56\pi}{63}$, то $\frac{\pi}{7} < \frac{8\pi}{9}$.
Поскольку на отрезке $[0; \pi]$ функция косинус убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{8\pi}{9}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{8\pi}{9}$.

2) Сравнить $\cos \frac{8\pi}{7}$ и $\cos \frac{10\pi}{7}$.

Аргументы $\frac{8\pi}{7}$ и $\frac{10\pi}{7}$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, так как $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7} < 2\pi$. На этом промежутке функция $y = \cos x$ возрастает.
Сравним аргументы: $\frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7}$.
Поскольку на отрезке $[\pi; 2\pi]$ функция косинус возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7}$.
Ответ: $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7}$.

3) Сравнить $\cos (-\frac{6\pi}{7})$ и $\cos (-\frac{\pi}{8})$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$. Поэтому:
$\cos (-\frac{6\pi}{7}) = \cos \frac{6\pi}{7}$
$\cos (-\frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8}$
Теперь сравним $\cos \frac{6\pi}{7}$ и $\cos \frac{\pi}{8}$. Оба аргумента принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y=\cos x$ убывает.
Сравним аргументы: $\frac{\pi}{8} < \frac{6\pi}{7}$ (так как $1/8 < 6/7$, или $7 < 48$).
Так как функция убывает, то $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{6\pi}{7}$.
Следовательно, $\cos (-\frac{\pi}{8}) > \cos (-\frac{6\pi}{7})$.
Ответ: $\cos (-\frac{6\pi}{7}) < \cos (-\frac{\pi}{8})$.

4) Сравнить $\cos (-\frac{8\pi}{7})$ и $\cos (-\frac{9\pi}{7})$.

Используем четность функции косинуса:
$\cos (-\frac{8\pi}{7}) = \cos \frac{8\pi}{7}$
$\cos (-\frac{9\pi}{7}) = \cos \frac{9\pi}{7}$
Сравним $\cos \frac{8\pi}{7}$ и $\cos \frac{9\pi}{7}$. Оба аргумента принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, на котором функция $y=\cos x$ возрастает.
Сравним аргументы: $\frac{8\pi}{7} < \frac{9\pi}{7}$.
Так как функция возрастает, то $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{9\pi}{7}$.
Следовательно, $\cos (-\frac{8\pi}{7}) < \cos (-\frac{9\pi}{7})$.
Ответ: $\cos (-\frac{8\pi}{7}) < \cos (-\frac{9\pi}{7})$.

5) Сравнить $\cos 1$ и $\cos 3$.

Значения аргументов 1 и 3 (в радианах) находятся в промежутке $[0; \pi]$, так как $\pi \approx 3.14$.
На этом промежутке функция $y = \cos x$ убывает.
Сравним аргументы: $1 < 3$.
Поскольку функция убывает, из $1 < 3$ следует, что $\cos 1 > \cos 3$.
Ответ: $\cos 1 > \cos 3$.

6) Сравнить $\cos 4$ и $\cos 5$.

Значения аргументов 4 и 5 (в радианах) находятся в промежутке $[\pi; 2\pi]$, так как $\pi \approx 3.14$ и $2\pi \approx 6.28$.
На этом промежутке функция $y = \cos x$ возрастает.
Сравним аргументы: $4 < 5$.
Поскольку функция возрастает, из $4 < 5$ следует, что $\cos 4 < \cos 5$.
Ответ: $\cos 4 < \cos 5$.