Номер 37, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 37, страница 20.

Условие.

37. Построив график функции $y=f(x)$, найти: а) область определения функции; б) множество значений; в) промежутки возрастания:

1) $f(x) = \begin{cases} \cos x, \text{ если } 0 \le x \le 2\pi, \\ x^2, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} \cos x, \text{ если } -3\pi \le x < -\frac{\pi}{2}, \\ \frac{2x}{\pi} + 1, \text{ если } x \ge -\frac{\pi}{2}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } 0 \le x \le 2\pi \\ x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Для решения задачи сначала мысленно построим график этой функции. График состоит из двух частей. При $x < 0$ график представляет собой левую ветвь параболы $y=x^2$. Эта ветвь начинается от $+\infty$ при $x \to -\infty$ и подходит к точке $(0, 0)$, которая не включается в эту часть графика (так называемая "выколотая" точка). При $0 \le x \le 2\pi$ график является стандартной волной косинуса на отрезке от $0$ до $2\pi$. Он начинается в точке $(0, 1)$, опускается до минимума в точке $(\pi, -1)$ и поднимается до максимума в точке $(2\pi, 1)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0$, а $f(0)=1$.

а) область определения функции

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. Согласно условию, функция определена для всех $x < 0$ и для всех $x$ в отрезке $[0, 2\pi]$. Объединяя эти два множества, получаем: $D(f) = (-\infty, 0) \cup [0, 2\pi] = (-\infty, 2\pi]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 2\pi]$.

б) множество значений

Множество значений $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $f(x)$. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $f(x) = x^2$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$. На отрезке $[0, 2\pi]$ функция $f(x) = \cos x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$. Общее множество значений функции является объединением этих двух множеств: $E(f) = (0, +\infty) \cup [-1, 1] = [-1, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) промежутки возрастания

Проанализируем монотонность функции, исходя из ее графика. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $f(x) = x^2$ убывает. На отрезке $[0, 2\pi]$ функция $f(x) = \cos x$ сначала убывает на $[0, \pi]$, а затем возрастает на $[\pi, 2\pi]$. Таким образом, единственным промежутком возрастания для всей функции $f(x)$ является отрезок $[\pi, 2\pi]$.

Ответ: $[\pi, 2\pi]$.

---

2)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } -3\pi \le x < -\frac{\pi}{2} \\ \frac{2x}{\pi} + 1, & \text{если } x \ge -\frac{\pi}{2} \end{cases}$.

Построим график этой функции. При $-3\pi \le x < -\frac{\pi}{2}$ график является частью косинусоиды $y=\cos x$. Он начинается в точке $(-3\pi, -1)$ и заканчивается, приближаясь к точке $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. При $x \ge -\frac{\pi}{2}$ график является прямой линией $y = \frac{2x}{\pi} + 1$. Эта прямая начинается в точке $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и идет вверх вправо, так как ее угловой коэффициент $\frac{2}{\pi}$ положителен. В точке "стыка" $x = -\frac{\pi}{2}$ предел слева $\lim_{x\to -\pi/2^-} \cos x = 0$, и значение функции $f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{2(-\pi/2)}{\pi} + 1 = 0$. Следовательно, функция непрерывна в этой точке.

а) область определения функции

Область определения функции $D(f)$ — это объединение промежутков, на которых задана функция: $[-3\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup [-\frac{\pi}{2}, +\infty)$. Таким образом, $D(f) = [-3\pi, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [-3\pi, +\infty)$.

б) множество значений

Найдем множество значений $E(f)$ для каждой части функции. На промежутке $[-3\pi, -\frac{\pi}{2})$ функция $f(x) = \cos x$ проходит через полтора периода. Максимальное значение равно 1 (например, в точке $x=-2\pi$), а минимальное -1 (в точках $x=-3\pi$ и $x=-\pi$). Таким образом, множество значений на этом промежутке — $[-1, 1]$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, +\infty)$ функция $f(x) = \frac{2x}{\pi} + 1$ является возрастающей прямой. Ее наименьшее значение достигается в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ и равно $f(-\frac{\pi}{2}) = 0$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$. Множество значений на этом промежутке: $[0, +\infty)$. Общее множество значений функции — это объединение множеств $[-1, 1]$ и $[0, +\infty)$, что дает $E(f) = [-1, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) промежутки возрастания

Проанализируем монотонность функции на каждом участке. На промежутке $[-3\pi, -\frac{\pi}{2})$ функция $f(x) = \cos x$. Она возрастает на промежутках вида $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$. В нашем случае это $[-3\pi, -2\pi]$ и $[-\pi, -\frac{\pi}{2})$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, +\infty)$ функция $f(x) = \frac{2x}{\pi} + 1$ возрастает, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом. Объединяем найденные промежутки возрастания. Так как функция непрерывна в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ и возрастает как до, так и после этой точки, мы можем объединить промежутки $[-\pi, -\frac{\pi}{2})$ и $[-\frac{\pi}{2}, +\infty)$ в один сплошной промежуток $[-\pi, +\infty)$. В итоге получаем два промежутка возрастания.

Ответ: $[-3\pi, -2\pi]$ и $[-\pi, +\infty)$.