Номер 39, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 39, страница 21.

Условие.

39. Найти все принадлежащие промежутку $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ корни уравнения:

1) $\cos 2x = \frac{1}{2}$;

2) $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $\cos(2x) = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение для $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделив на 2, получим общее решение для $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это дает две серии корней:

Первая серия: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$

Вторая серия: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, будем подставлять целые значения $k$:

• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $-\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.
• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{13\pi}{6} > \frac{3\pi}{2}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, будем подставлять целые значения $k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{11\pi}{6} > \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, все корни, принадлежащие заданному промежутку, это $-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

---

2) Решим уравнение $\cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 3x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение для $3x$:

$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделив на 3, получим общее решение для $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Это дает две серии корней:

Первая серия: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Вторая серия: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Для удобства приведем границы промежутка к знаменателю 18: $[-\frac{9\pi}{18}, \frac{27\pi}{18}]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, будем подставлять целые значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 24\pi}{18} = \frac{25\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{11\pi}{18}$. Не подходит, так как $-\frac{11\pi}{18} < -\frac{9\pi}{18}$.
• При $k = 3$, $x = \frac{\pi}{18} + 2\pi = \frac{37\pi}{18}$. Не подходит, так как $\frac{37\pi}{18} > \frac{27\pi}{18}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, будем подставлять целые значения $k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-\pi + 24\pi}{18} = \frac{23\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = -1$, $x = -\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{13\pi}{18}$. Не подходит, так как $-\frac{13\pi}{18} < -\frac{9\pi}{18}$.
• При $k = 3$, $x = -\frac{\pi}{18} + 2\pi = \frac{35\pi}{18}$. Не подходит, так как $\frac{35\pi}{18} > \frac{27\pi}{18}$.

Таким образом, все корни, принадлежащие заданному промежутку, это $-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}, \frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}, \frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18}$.