Номер 36, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 36, страница 20.

Условие.

36. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ решения неравенства:

1) $\cos x \ge \frac{1}{2}$;

2) $\cos x \ge -\frac{1}{2}$;

3) $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Требуется найти все решения неравенства $\cos x \ge \frac{1}{2}$ на отрезке $[0, 3\pi]$.
Сначала найдем общее решение этого неравенства. Решением уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ являются значения $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. На единичной окружности неравенству $\cos x \ge \frac{1}{2}$ соответствуют точки, абсцисса которых больше или равна $\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, общее решение неравенства можно записать в виде: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем из этого общего решения те, которые принадлежат отрезку $[0, 3\pi]$, перебирая значения $k$:

• При $k=0$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$. Пересечение этого отрезка с $[0, 3\pi]$ дает нам промежуток $[0, \frac{\pi}{3}]$.
• При $k=1$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi, \frac{\pi}{3} + 2\pi]$, что равносильно $[\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$. Этот отрезок полностью содержится в $[0, 3\pi]$, так как $3\pi = \frac{9\pi}{3}$.
• При $k=2$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{3} + 4\pi, \frac{\pi}{3} + 4\pi] = [\frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}]$. Этот отрезок находится за пределами $[0, 3\pi]$.

Объединив найденные промежутки, получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$.

2) Требуется найти все решения неравенства $\cos x \ge -\frac{1}{2}$ на отрезке $[0, 3\pi]$.
Общее решение. Уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$ имеет решения $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенству $\cos x \ge -\frac{1}{2}$ на единичной окружности соответствуют точки с абсциссой не меньше $-\frac{1}{2}$. Это дуга от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
Общее решение неравенства: $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[0, 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем отрезок $[-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$. Пересечение с $[0, 3\pi]$ дает $[0, \frac{2\pi}{3}]$.
• При $k=1$: получаем отрезок $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi, \frac{2\pi}{3} + 2\pi] = [\frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}]$. Этот отрезок полностью содержится в $[0, 3\pi]$.
• При $k=2$: получаем отрезок $[-\frac{2\pi}{3} + 4\pi, \frac{2\pi}{3} + 4\pi] = [\frac{10\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}]$, что выходит за пределы отрезка $[0, 3\pi]$.

Объединяем найденные решения.
Ответ: $x \in [0, \frac{2\pi}{3}] \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}]$.

3) Требуется найти все решения неравенства $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0, 3\pi]$.
Общее решение. Уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет решения $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенству $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности с абсциссой меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. На одном обороте это дуга от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$.
Общее решение неравенства: $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[0, 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем интервал $(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$. Он полностью лежит в отрезке $[0, 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем интервал $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi, \frac{5\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4})$. Найдем пересечение этого интервала с $[0, 3\pi]$. Так как $3\pi = \frac{12\pi}{4}$ и $\cos(3\pi) = -1 < -\frac{\sqrt{2}}{2}$, точка $x=3\pi$ является решением. Таким образом, пересечение дает полуинтервал $(\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.

При других значениях $k$ решений в заданном отрезке нет.
Ответ: $x \in (\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.

4) Требуется найти все решения неравенства $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0, 3\pi]$.
Общее решение. Решения уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ есть $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенству $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности с абсциссой меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. На одном обороте это дуга от $\frac{\pi}{6}$ до $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Общее решение неравенства: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[0, 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$. Он полностью лежит в отрезке $[0, 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем интервал $(\frac{\pi}{6} + 2\pi, \frac{11\pi}{6} + 2\pi) = (\frac{13\pi}{6}, \frac{23\pi}{6})$. Найдем пересечение с $[0, 3\pi]$. Так как $3\pi = \frac{18\pi}{6}$ и $\cos(3\pi)=-1 < \frac{\sqrt{3}}{2}$, точка $x=3\pi$ входит в решение. Пересечение дает полуинтервал $(\frac{13\pi}{6}, 3\pi]$.

При других значениях $k$ решений в заданном отрезке нет.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}, 3\pi]$.