Номер 31, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 31, страница 20.

Условие.

31. Выяснить, принадлежит ли графику функции $y = \cos x$ точка с координатами:

1) $(\frac{\pi}{2}; 0)$

2) $(\frac{10\pi}{3}; \frac{1}{2})$

3) $(\frac{25\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$

4) $(-\frac{19\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выяснить, принадлежит ли точка графику функции $y = \cos x$, необходимо подставить абсциссу (координату $x$) точки в уравнение функции. Если полученное значение $y$ совпадает с ординатой (координатой $y$) точки, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) Проверяем точку с координатами $(\frac{\pi}{2}; 0)$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{\pi}{2})$

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{2}$ равно $0$. Таким образом, $y = 0$.

Полученное значение $y=0$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да.

2) Проверяем точку с координатами $(\frac{10\pi}{3}; \frac{1}{2})$.

Подставляем $x = \frac{10\pi}{3}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{10\pi}{3})$

Используем периодичность функции косинуса (период $2\pi$):

$\frac{10\pi}{3} = \frac{6\pi + 4\pi}{3} = 2\pi + \frac{4\pi}{3}$

$\cos(\frac{10\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3})$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Полученное значение $y = -\frac{1}{2}$ не совпадает с ординатой точки, которая равна $\frac{1}{2}$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: нет.

3) Проверяем точку с координатами $(\frac{25\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставляем $x = \frac{25\pi}{6}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{25\pi}{6})$

Упростим аргумент, используя периодичность ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$):

$\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi + \pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$

$\cos(\frac{25\pi}{6}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Полученное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ не совпадает с ординатой точки, которая равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: нет.

4) Проверяем точку с координатами $(-\frac{19\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Подставляем $x = -\frac{19\pi}{4}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(-\frac{19\pi}{4})$

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$:

$\cos(-\frac{19\pi}{4}) = \cos(\frac{19\pi}{4})$

Упростим аргумент, используя периодичность ($2\pi = \frac{8\pi}{4}$):

$\frac{19\pi}{4} = \frac{16\pi + 3\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4}$

$\cos(\frac{19\pi}{4}) = \cos(4\pi + \frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4})$

Применим формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Полученное значение $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да.