Номер 27, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 27, страница 15.

Условие.

27. Пусть функция $f(x)$ определена на всей числовой прямой.

Доказать, что:

1) $f(x) + f(-x)$ — чётная функция;

2) $f(x) - f(-x)$ — нечётная функция.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) f(x) + f(-x) — чётная функция;

Для доказательства введем новую функцию $g(x) = f(x) + f(-x)$.

По определению, функция является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $g(-x) = g(x)$. По условию, функция $f(x)$ определена на всей числовой прямой, значит, её область определения симметрична относительно нуля. Следовательно, область определения функции $g(x)$ также симметрична.

Проверим выполнение равенства. Найдем значение функции $g(x)$ в точке $-x$:

$g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x)$

Так как сложение коммутативно (обладает переместительным свойством), то $f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x)$.

Следовательно, мы получаем:

$g(-x) = f(x) + f(-x) = g(x)$

Равенство $g(-x) = g(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, значит, функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) f(x) - f(-x) — нечётная функция.

Аналогично, введем новую функцию $h(x) = f(x) - f(-x)$.

По определению, функция является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$. Область определения $h(x)$ также является всей числовой прямой и, следовательно, симметрична.

Проверим выполнение равенства. Найдем значение функции $h(x)$ в точке $-x$:

$h(-x) = f(-x) - f(-(-x)) = f(-x) - f(x)$

Теперь найдем выражение для $-h(x)$:

$-h(x) = -(f(x) - f(-x)) = -f(x) + f(-x) = f(-x) - f(x)$

Сравнивая полученные выражения для $h(-x)$ и $-h(x)$, видим, что они равны.

Равенство $h(-x) = -h(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, значит, функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ является нечётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.