Номер 21, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 21, страница 14.

Условие.

21. Доказать, что функция не является периодической:

1) $y = \sin \sqrt{|x|}$;

2) $y = \sin x + \sin \sqrt{2}x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sin(\sqrt{|x|})$

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что функция $f(x) = \sin(\sqrt{|x|})$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$.

По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения (в данном случае, для любого $x \in \mathbb{R}$) должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим нули функции. Функция обращается в ноль, когда её аргумент равен $n\pi$, где $n$ — целое неотрицательное число.
$\sqrt{|x|} = n\pi \implies |x| = (n\pi)^2$.

Рассмотрим значение функции в точке $x=0$.
$f(0) = \sin(\sqrt{|0|}) = \sin(0) = 0$.

Из предположения о периодичности с периодом $T$ следует, что $f(kT) = f(0) = 0$ для любого целого $k$.
В частности, для $k=1$, имеем $f(T) = 0$.
$f(T) = \sin(\sqrt{|T|}) = \sin(\sqrt{T})$ (так как $T>0$).
$\sin(\sqrt{T}) = 0 \implies \sqrt{T} = n_1 \pi$ для некоторого целого $n_1 \ge 1$ (поскольку $T>0$).
Отсюда $T = (n_1\pi)^2$.

Теперь рассмотрим $k=2$. Имеем $f(2T) = 0$.
$f(2T) = \sin(\sqrt{|2T|}) = \sin(\sqrt{2T})$.
$\sin(\sqrt{2T}) = 0 \implies \sqrt{2T} = n_2 \pi$ для некоторого целого $n_2 \ge 1$.
Отсюда $2T = (n_2\pi)^2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для $T$:
$T = (n_1\pi)^2$
$2T = (n_2\pi)^2$

Подставим выражение для $T$ из первого уравнения во второе:
$2(n_1\pi)^2 = (n_2\pi)^2$
$2n_1^2\pi^2 = n_2^2\pi^2$

Разделим обе части на $\pi^2 \neq 0$:
$2n_1^2 = n_2^2$
$\frac{n_2^2}{n_1^2} = 2 \implies \frac{n_2}{n_1} = \sqrt{2}$

Мы получили, что отношение двух целых чисел $n_2$ и $n_1$ равно иррациональному числу $\sqrt{2}$, что невозможно. Это противоречие доказывает, что наше исходное предположение о периодичности функции было неверным.

Ответ: Функция не является периодической.

2) $y = \sin x + \sin(\sqrt{2}x)$

Докажем от противного. Предположим, что функция $f(x) = \sin x + \sin(\sqrt{2}x)$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$.

Если дифференцируемая функция периодична, то и её производные являются периодическими функциями с тем же периодом. Найдём вторую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + \sin(\sqrt{2}x)) = \cos x + \sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x)$

$f''(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + \sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x)) = -\sin x - 2\sin(\sqrt{2}x)$

Поскольку $f(x)$ и $f''(x)$ должны быть периодическими с периодом $T$, то их линейная комбинация также будет периодической функцией с периодом $T$. Рассмотрим функцию $H(x) = f(x) + f''(x)$:

$H(x) = (\sin x + \sin(\sqrt{2}x)) + (-\sin x - 2\sin(\sqrt{2}x)) = -\sin(\sqrt{2}x)$

Следовательно, функция $y = -\sin(\sqrt{2}x)$ также должна быть периодической с периодом $T$. Это означает, что для любого $x$ выполняется равенство $\sin(\sqrt{2}(x+T)) = \sin(\sqrt{2}x)$. Основной период функции $\sin(\sqrt{2}x)$ равен $\frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi$. Любой её период $T$ должен быть кратен основному, то есть $T = m \cdot \sqrt{2}\pi$ для некоторого ненулевого целого числа $m$.

Теперь вернёмся к исходной функции $f(x)$. Так как $f(0) = \sin 0 + \sin 0 = 0$, то из предположения о периодичности следует, что $f(T) = f(0) = 0$.

Таким образом, $\sin T + \sin(\sqrt{2}T) = 0$.

Подставим в это равенство найденное соотношение $T = m\sqrt{2}\pi$. Второй член равенства обращается в ноль:
$\sin(\sqrt{2}T) = \sin(\sqrt{2} \cdot m\sqrt{2}\pi) = \sin(2m\pi) = 0$.

Тогда равенство $\sin T + \sin(\sqrt{2}T) = 0$ превращается в $\sin T + 0 = 0$, откуда $\sin T = 0$.

Это означает, что период $T$ должен быть кратен $\pi$, то есть $T = k\pi$ для некоторого ненулевого целого числа $k$.

Итак, мы получили два различных выражения для одного и того же периода $T$:
$T = m\sqrt{2}\pi$
$T = k\pi$

Приравняем их:
$m\sqrt{2}\pi = k\pi$

Поскольку $T > 0$, мы можем разделить обе части на $\pi \neq 0$:
$m\sqrt{2} = k \implies \sqrt{2} = \frac{k}{m}$

Это равенство является противоречием, так как иррациональное число $\sqrt{2}$ не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел $k$ и $m$. Следовательно, наше предположение о периодичности функции неверно.

Ответ: Функция не является периодической.