Номер 19, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 19, страница 14.

Условие.

19. 1) $y = \sin x + \cos x;$

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x;$

3) $y = \sin x \cdot \sin 3x;$

4) $y = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2} - 3\operatorname{tg}\frac{x}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sin x + \cos x$

Чтобы найти основной (наименьший положительный) период функции, являющейся суммой двух периодических функций, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их периодов.

Функция $f_1(x) = \sin x$ имеет основной период $T_1 = 2\pi$.

Функция $f_2(x) = \cos x$ имеет основной период $T_2 = 2\pi$.

Основной период функции $y = \sin x + \cos x$ равен НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(2\pi, 2\pi) = 2\pi$.

Альтернативный способ решения — преобразовать выражение с помощью метода вспомогательного угла:

$y = \sin x + \cos x = \sqrt{1^2+1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x \right)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$y = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Основной период функции $y = A \sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=1$, поэтому период равен $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$

Найдем периоды каждого слагаемого.

Функция $f_1(x) = \sin x$ имеет основной период $T_1 = 2\pi$.

Функция $f_2(x) = \operatorname{tg} x$ имеет основной период $T_2 = \pi$.

Основной период функции $y$ равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых:

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, \pi)$.

Так как $2\pi$ делится нацело на $\pi$ ($2\pi = 2 \cdot \pi$), то НОК этих чисел равно $2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

3) $y = \sin x \cdot \sin 3x$

Для нахождения периода преобразуем произведение синусов в сумму с помощью формулы:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

Применим эту формулу к нашей функции:

$y = \sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2}(\cos(x-3x) - \cos(x+3x)) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) - \cos(4x))$.

Так как функция косинуса четная, $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Тогда:

$y = \frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x)$.

Теперь найдем периоды для каждого слагаемого. Период функции $\cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для слагаемого $f_1(x) = \frac{1}{2}\cos(2x)$ период $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Для слагаемого $f_2(x) = -\frac{1}{2}\cos(4x)$ период $T_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Основной период исходной функции равен НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(\pi, \frac{\pi}{2}) = \pi$.

Ответ: $\pi$.

4) $y = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2} - 3\operatorname{tg}\frac{x}{3}$

Найдем периоды для каждого слагаемого. Период функции $\operatorname{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для слагаемого $f_1(x) = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2}$, где $k = \frac{1}{2}$, период $T_1 = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$.

Для слагаемого $f_2(x) = -3\operatorname{tg}\frac{x}{3}$, где $k = \frac{1}{3}$, период $T_2 = \frac{\pi}{|1/3|} = 3\pi$.

Основной период исходной функции равен НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(2\pi, 3\pi) = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$.