Номер 13, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 13, страница 13.

Условие.

13. 1) $y = \sin x + x$;

2) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2$;

3) $y = 3 - \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \sin(\pi - x)$;

4) $y = \frac{1}{2}\cos 2x \sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) + 3$;

5) $y = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, необходимо проверить выполнение следующих условий для любого $x$ из области определения функции $f(x)$:

• Функция четная, если $f(-x) = f(x)$.
• Функция нечетная, если $f(-x) = -f(x)$.
• Если ни одно из этих условий не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

При решении будут использоваться свойства тригонометрических функций:

• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (нечетная функция)
• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (четная функция)

---

1) $y = \sin x + x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \sin x + x$. Область определения функции — все действительные числа. Чтобы определить четность или нечетность функции, найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin(-x) + (-x)$

Используем свойство нечетности синуса, $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = -\sin x - x = -(\sin x + x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

---

2) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2$. Область определения — все действительные числа. Сначала упростим выражение. Используем свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha)$:

$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = \sin x - x^2$.

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin(-x) - (-x)^2 = -\sin x - x^2$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -\sin x - x^2 \neq f(x) = \sin x - x^2$

$-f(x) = -(\sin x - x^2) = -\sin x + x^2$

$f(-x) = -\sin x - x^2 \neq -f(x) = -\sin x + x^2$

Поскольку ни условие четности $f(-x) = f(x)$, ни условие нечетности $f(-x) = -f(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

---

3) $y = 3 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\sin(\pi - x)$

Обозначим функцию как $f(x) = 3 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\sin(\pi - x)$. Область определения — все действительные числа. Упростим выражение с помощью формул приведения:

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$

$\sin(\pi - x) = \sin x$

Подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$f(x) = 3 - (-\sin x)(\sin x) = 3 + \sin^2 x$

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 3 + \sin^2(-x) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

---

4) $y = \frac{1}{2}\cos(2x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) + 3$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{1}{2}\cos(2x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) + 3$. Область определения — все действительные числа. Упростим выражение, используя формулу приведения $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos(\alpha)$:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\cos(2x)$

Подставим в исходную функцию:

$f(x) = \frac{1}{2}\cos(2x)(-\cos(2x)) + 3 = -\frac{1}{2}\cos^2(2x) + 3$

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos^2(2(-x)) + 3 = -\frac{1}{2}\cos^2(-2x) + 3$

Так как косинус — четная функция, $\cos(-2x) = \cos(2x)$, то $\cos^2(-2x) = \cos^2(2x)$.

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos^2(2x) + 3$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$, и функция является четной.

Ответ: функция четная.

---

5) $y = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$

Обозначим функцию как $f(x) = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$. Область определения — все действительные числа. Чтобы определить четность, найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \frac{1 + \cos(-x)}{2}$

Используем свойства степенной функции с четным показателем $(-x)^2 = x^2$ и четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$.

$f(-x) = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Это также следует из того, что функция представляет собой сумму двух четных функций: $g(x) = x^2$ и $h(x) = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Ответ: функция четная.