Номер 11, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 11, страница 9.

Условие.

11. Доказать, что функция $f(x)$ не является ограниченной в области её определения, если:

1) $f(x) = \frac{\cos x}{x};$

2) $f(x) = \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = \frac{\cos x}{x}$.
Область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Функция называется ограниченной в области определения, если существует такое число $M > 0$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $|f(x)| \leq M$. Чтобы доказать, что функция не является ограниченной, достаточно показать, что для любого сколь угодно большого числа $M$ найдется такое значение $x$, что $|f(x)| > M$.
Рассмотрим поведение функции в окрестности точки $x=0$. Вычислим правосторонний предел функции при $x$, стремящемся к нулю:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x}{x}$.
Поскольку предел числителя $\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$, а знаменатель $x$ стремится к нулю, оставаясь положительным (обозначается как $x \to 0^+$), получаем:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x}{x} = \left[\frac{1}{+0}\right] = +\infty$.
Тот факт, что предел функции при $x \to 0^+$ равен $+\infty$, означает, что функция не ограничена сверху. То есть, для любого, сколь угодно большого положительного числа $M$, можно найти такое значение $x > 0$ (достаточно близкое к нулю), что $f(x) = \frac{\cos x}{x} > M$.
Следовательно, функция $f(x)$ не является ограниченной в своей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$.
Область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Для доказательства неограниченности функции построим такую последовательность точек $\{x_n\}$ из области определения, для которой последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ будет стремиться к бесконечности.
Выберем последовательность $\{x_n\}$ так, чтобы значения $\sin\frac{1}{x_n}$ были максимальными, то есть равнялись 1. Это достигается, когда аргумент синуса равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ для любого целого $n$. Возьмем $n$ из множества натуральных чисел ($n \in \mathbb{N}$).
$\frac{1}{x_n} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n = 1, 2, 3, \ldots$
Отсюда выразим $x_n$:
$x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$.
Заметим, что при $n \to \infty$, знаменатель дроби стремится к бесконечности, значит $x_n \to 0$. При любом натуральном $n$ значение $x_n \neq 0$, следовательно, все члены последовательности $\{x_n\}$ принадлежат области определения функции.
Теперь найдём значения функции $f(x)$ в этих точках:
$f(x_n) = \frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{x_n} = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$.
Так как по нашему выбору $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 1$, получаем:
$f(x_n) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
Найдём предел этой последовательности значений функции при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = +\infty$.
Поскольку мы нашли последовательность точек, в которых значения функции неограниченно возрастают, функция $f(x)$ не является ограниченной сверху, а следовательно, не является ограниченной в своей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.