Страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Найти область определения функции f(x) и вычислить её значение в заданных точках:

1) $f(x)=\frac{\cos 2x}{\sin x}; x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{7\pi}{2}$

2) $f(x)=\frac{x}{\cos \pi x}; x_1 = 0, x_2 = -1, x_3 = 100$

1) Дана функция $f(x) = \frac{\cos 2x}{\sin x}$.

Нахождение области определения:
Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
Условие для области определения: $\sin x \neq 0$.
Решая это тригонометрическое неравенство, находим, что синус равен нулю в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, за исключением точек вида $k\pi$.
$D(f): x \in \mathbb{R}, x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Вычисление значений функции в заданных точках:
- Для точки $x_1 = \frac{\pi}{4}$:
Проверим, входит ли точка в область определения. Так как $\frac{\pi}{4} \neq k\pi$ для любого целого $k$, точка принадлежит области определения.
Вычисляем значение функции:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{4})}$
Мы знаем значения тригонометрических функций: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 0$.

- Для точки $x_2 = \frac{7\pi}{2}$:
Проверим, входит ли точка в область определения. Так как $\frac{7\pi}{2} \neq k\pi$ для любого целого $k$, точка принадлежит области определения.
Вычисляем значение функции:
$f(\frac{7\pi}{2}) = \frac{\cos(2 \cdot \frac{7\pi}{2})}{\sin(\frac{7\pi}{2})} = \frac{\cos(7\pi)}{\sin(\frac{7\pi}{2})}$
Вычислим значения числителя и знаменателя:
$\cos(7\pi) = \cos(6\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
$\sin(\frac{7\pi}{2}) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
$f(\frac{7\pi}{2}) = \frac{-1}{-1} = 1$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Значения функции: $f(\frac{\pi}{4}) = 0$, $f(\frac{7\pi}{2}) = 1$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x}{\cos(\pi x)}$.

Нахождение области определения:
Функция определена для всех $x$, при которых знаменатель $\cos(\pi x)$ не равен нулю.
Условие для области определения: $\cos(\pi x) \neq 0$.
Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\pi x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
Разделим обе части неравенства на $\pi$:
$x \neq \frac{1}{2} + k, k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме чисел вида $k + 0.5$.
$D(f): x \in \mathbb{R}, x \neq k + \frac{1}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Вычисление значений функции в заданных точках:
- Для точки $x_1 = 0$:
Точка $x_1 = 0$ не имеет вид $k + \frac{1}{2}$, поэтому она принадлежит области определения.
$f(0) = \frac{0}{\cos(\pi \cdot 0)} = \frac{0}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$.

- Для точки $x_2 = -1$:
Точка $x_2 = -1$ не имеет вид $k + \frac{1}{2}$, поэтому она принадлежит области определения.
$f(-1) = \frac{-1}{\cos(\pi \cdot (-1))} = \frac{-1}{\cos(-\pi)}$
Так как косинус — четная функция, $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
$f(-1) = \frac{-1}{-1} = 1$.

- Для точки $x_3 = 100$:
Точка $x_3 = 100$ не имеет вид $k + \frac{1}{2}$, поэтому она принадлежит области определения.
$f(100) = \frac{100}{\cos(\pi \cdot 100)} = \frac{100}{\cos(100\pi)}$
Аргумент косинуса $100\pi$ является четным кратным $\pi$, поэтому $\cos(100\pi) = 1$.
$f(100) = \frac{100}{1} = 100$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq k + \frac{1}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Значения функции: $f(0) = 0$, $f(-1) = 1$, $f(100) = 100$.

Найти область определения функции (5—6).

5. 1) $y=\sqrt{\sin x+1}$;

2) $y=\sqrt{\cos x-1}$;

3) $y=\lg \sin x$;

4) $y=\sqrt{2\cos x-1}$;

5) $y=\sqrt{1-2\sin x}$;

6) $y=\ln \cos x$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{\sin x + 1}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\sin x + 1 \ge 0$. Это неравенство равносильно $\sin x \ge -1$. Поскольку область значений функции синус $E(\sin x) = [-1; 1]$, данное неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\cos x - 1}$ находится из условия $\cos x - 1 \ge 0$, что равносильно $\cos x \ge 1$. Так как область значений функции косинус $E(\cos x) = [-1; 1]$, это неравенство может выполняться только в случае равенства: $\cos x = 1$. Решениями этого уравнения являются значения $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \lg \sin x$ (десятичный логарифм) находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $\sin x > 0$. Это неравенство выполняется, когда угол $x$ находится в первой или второй четверти. С учетом периодичности функции синус (период $2\pi$), получаем $2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $y = \sqrt{2\cos x - 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2\cos x - 1 \ge 0$. Отсюда следует $\cos x \ge \frac{1}{2}$. Решая это тригонометрическое неравенство, находим, что на основном периоде оно выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$. Учитывая периодичность функции косинус, общее решение имеет вид: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

5) Область определения функции $y = \sqrt{1 - 2\sin x}$ задается условием $1 - 2\sin x \ge 0$. Это неравенство преобразуется к виду $2\sin x \le 1$, или $\sin x \le \frac{1}{2}$. Решением этого неравенства являются все значения $x$, для которых синус не превышает $\frac{1}{2}$. С учетом периодичности, эти значения $x$ лежат в промежутках $[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x \in [-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

6) Для функции $y = \ln \cos x$ (натуральный логарифм) выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $\cos x > 0$. Это неравенство выполняется, когда угол $x$ находится в первой или четвертой четверти. С учетом периодичности функции косинус, получаем интервалы $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

6. 1) $y = \frac{1}{2\sin^2 x - \sin x}$;

2) $y = \frac{2}{\cos^2 x - \sin^2 x}$;

3) $y = \frac{1}{\sin x - \sin 3x}$;

4) $y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x}$.

1) Дана функция $y=\frac{1}{2\sin^2x - \sin x}$.

Область определения функции - это все значения $x$, для которых выражение в знаменателе не равно нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

$2\sin^2x - \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\sin x - 1) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1. $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in Z$ ($Z$ - множество целых чисел).

2. $2\sin x - 1 = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: $x \neq \pi k, k \in Z$ и $x \neq (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

2) Дана функция $y=\frac{2}{\cos^2x - \sin^2x}$.

Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\cos(2x) \neq 0$

Найдем значения $x$, для которых $\cos(2x) = 0$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Следовательно, область определения функции - это все действительные числа, кроме этих значений.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

3) Дана функция $y=\frac{1}{\sin x - \sin 3x}$.

Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$\sin x - \sin 3x = 0$

Воспользуемся формулой разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$2\sin\frac{x-3x}{2}\cos\frac{x+3x}{2} = 0$

$2\sin(-x)\cos(2x) = 0$

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$-2\sin x \cos(2x) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in Z$.

2. $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Область определения функции - это все действительные числа, за исключением этих значений.

Ответ: $x \neq \pi k, k \in Z$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

4) Дана функция $y=\frac{1}{\cos^3x + \cos x}$.

Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$\cos^3x + \cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos^2x + 1) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1. $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

2. $\cos^2x + 1 = 0$

$\cos^2x = -1$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($\cos^2x \ge 0$). Следовательно, выражение $\cos^2x + 1$ всегда больше или равно 1 и никогда не равно нулю.

Таким образом, единственное ограничение на область определения дает условие $\cos x \neq 0$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

Найти множество значений функции (7–9).

7. 1) $y = 2\sin^2 x - \cos 2x;$

2) $y = 1 - 8\cos^2 x \sin^2 x;$

3) $y = \frac{1+8\cos^2 x}{4};$

4) $y = 10 - 9\sin^2 3x;$

5) $y = 1 - 2|\cos x|;$

6) $y = \sin x + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

1) $y = 2\sin^2x - \cos(2x)$

Для нахождения множества значений функции преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.

$y = 2\sin^2x - (1 - 2\sin^2x) = 2\sin^2x - 1 + 2\sin^2x = 4\sin^2x - 1$.

Теперь найдём множество значений полученной функции. Область значений для $\sin^2x$ — это отрезок $[0; 1]$, так как синус принимает значения от -1 до 1, а его квадрат — от 0 до 1.

$0 \le \sin^2x \le 1$

Умножим все части неравенства на 4:

$0 \le 4\sin^2x \le 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$0 - 1 \le 4\sin^2x - 1 \le 4 - 1$

$-1 \le y \le 3$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-1; 3]$.

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

2) $y = 1 - 8\cos^2x\sin^2x$

Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$.

$y = 1 - 2 \cdot (4\cos^2x\sin^2x) = 1 - 2 \cdot (2\sin x\cos x)^2 = 1 - 2(\sin(2x))^2 = 1 - 2\sin^2(2x)$.

Теперь применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$y = \cos(2 \cdot 2x) = \cos(4x)$.

Множество значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Аргумент $4x$ не меняет множество значений.

Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.

3) $y = \frac{1 + 8\cos^2x}{4}$

Множество значений этой функции зависит от значений выражения $\cos^2x$.

Известно, что $0 \le \cos^2x \le 1$.

Выполним преобразования с этим неравенством:

Умножим на 8: $0 \le 8\cos^2x \le 8$.

Прибавим 1: $1 \le 1 + 8\cos^2x \le 9$.

Разделим на 4: $\frac{1}{4} \le \frac{1 + 8\cos^2x}{4} \le \frac{9}{4}$.

Следовательно, $\frac{1}{4} \le y \le \frac{9}{4}$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{4}; \frac{9}{4}]$.

4) $y = 10 - 9\sin^2(3x)$

Множество значений функции определяется множеством значений выражения $\sin^2(3x)$.

Известно, что $0 \le \sin^2(3x) \le 1$.

Умножим неравенство на -9, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$0 \ge -9\sin^2(3x) \ge -9$, что эквивалентно $-9 \le -9\sin^2(3x) \le 0$.

Прибавим 10 ко всем частям неравенства:

$10 - 9 \le 10 - 9\sin^2(3x) \le 10 + 0$

$1 \le y \le 10$

Ответ: $E(y) = [1; 10]$.

5) $y = 1 - 2|\cos x|$

Множество значений этой функции зависит от значений выражения $|\cos x|$.

Известно, что $0 \le |\cos x| \le 1$.

Умножим неравенство на -2 (знаки неравенства изменятся на противоположные):

$0 \ge -2|\cos x| \ge -2$, что эквивалентно $-2 \le -2|\cos x| \le 0$.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 - 2 \le 1 - 2|\cos x| \le 1 + 0$

$-1 \le y \le 1$

Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.

6) $y = \sin x + \sin(x + \frac{\pi}{3})$

Для преобразования выражения воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = x + \frac{\pi}{3}$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{x + x + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{3}}{2} = x + \frac{\pi}{6}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{x - (x + \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{6}$

Подставим эти значения в формулу:

$y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})\cos(-\frac{\pi}{6})$.

Так как $\cos(-z) = \cos(z)$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin(x + \frac{\pi}{6})$.

Множество значений функции $\sin(x + \frac{\pi}{6})$ есть отрезок $[-1; 1]$.

Следовательно, множество значений функции $y = \sqrt{3}\sin(x + \frac{\pi}{6})$ есть отрезок $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

Ответ: $E(y) = [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

8. 1) $y = \sin x - 5\cos x;$

2) $y = \sin^2 x - 2\sin x;$

3) $y = 10\cos^2 x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2 x;$

4) $y = \cos^2 x + 3\cos x.$

1) Для нахождения области значений функции $y = \sin x - 5\cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a \sin x + b \cos x$ можно преобразовать к виду $R\sin(x+\alpha)$ или $R\cos(x-\alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае $a=1$ и $b=-5$. Найдем $R$:

$R = \sqrt{1^2+(-5)^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$.

Преобразуем исходное выражение:

$y = \sqrt{26} \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\sin x - \frac{5}{\sqrt{26}}\cos x\right)$.

Пусть существует такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{26}}$ и $\sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{26}}$. Такое возможно, так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 + \left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{1}{26} + \frac{25}{26} = 1$.

Тогда выражение для $y$ можно записать с использованием формулы синуса суммы $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$:

$y = \sqrt{26} (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = \sqrt{26} \sin(x+\alpha)$.

Область значений функции синус, то есть $\sin(x+\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, для нахождения области значений функции $y$, нужно умножить границы этого отрезка на $\sqrt{26}$:

$y_{min} = \sqrt{26} \cdot (-1) = -\sqrt{26}$.

$y_{max} = \sqrt{26} \cdot 1 = \sqrt{26}$.

Таким образом, область значений функции $y$ - это отрезок $[-\sqrt{26}, \sqrt{26}]$.

Ответ: $E(y) = [-\sqrt{26}, \sqrt{26}]$.

2) Рассмотрим функцию $y = \sin^2 x - 2\sin x$. Это квадратичная функция относительно $\sin x$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ может принимать значения только из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.

После замены получаем квадратичную функцию $y(t) = t^2 - 2t$, которую нужно исследовать на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Вершина параболы $t_v = 1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. В этой точке функция достигает своего минимума, так как ветви параболы направлены вверх.

$y_{min} = y(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

Максимальное значение на отрезке будет достигаться в точке, наиболее удаленной от вершины. Так как вершина находится на правом конце отрезка, максимальное значение будет на левом конце, при $t = -1$.

$y_{max} = y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Следовательно, область значений функции есть отрезок от минимального до максимального значения.

Ответ: $E(y) = [-1, 3]$.

3) Рассмотрим функцию $y = 10\cos^2 x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2 x$.

Для нахождения области значений преобразуем выражение, используя тригонометрические формулы понижения степени и двойного угла:

$\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$

$\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$

$2\sin x \cos x = \sin(2x) \implies 6\sin x \cos x = 3\sin(2x)$

Подставим эти выражения в исходную функцию:

$y = 10\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) - 3\sin(2x) + 2\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)$

$y = 5(1+\cos(2x)) - 3\sin(2x) + (1-\cos(2x))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = 5 + 5\cos(2x) - 3\sin(2x) + 1 - \cos(2x)$

$y = 6 + 4\cos(2x) - 3\sin(2x)$

Теперь задача сводится к нахождению области значений выражения $z = 4\cos(2x) - 3\sin(2x)$. Это линейная комбинация синуса и косинуса. Ее область значений - отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

В нашем случае $a=4$ и $b=-3$.

$\sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Значит, область значений для $z$ - это отрезок $[-5, 5]$.

Теперь найдем область значений для $y = 6+z$:

$y_{min} = 6 + z_{min} = 6 - 5 = 1$.

$y_{max} = 6 + z_{max} = 6 + 5 = 11$.

Таким образом, область значений исходной функции - это отрезок $[1, 11]$.

Ответ: $E(y) = [1, 11]$.

4) Рассмотрим функцию $y = \cos^2 x + 3\cos x$. Это квадратичная функция относительно $\cos x$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Область значений косинуса - это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $t \in [-1, 1]$.

Получаем квадратичную функцию $y(t) = t^2 + 3t$, которую нужно исследовать на отрезке $t \in [-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.

Вершина параболы $t_v = -1.5$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Так как вершина параболы находится левее отрезка $[-1, 1]$ ($t_v < -1$), а ветви направлены вверх, то на всем отрезке $[-1, 1]$ функция $y(t)$ монотонно возрастает.

Следовательно, минимальное значение функция принимает на левом конце отрезка, при $t = -1$, а максимальное — на правом, при $t = 1$.

$y_{min} = y(-1) = (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2$.

$y_{max} = y(1) = 1^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$.

Таким образом, область значений функции есть отрезок от минимального до максимального значения.

Ответ: $E(y) = [-2, 4]$.

9. 1) $y = \sin^4 x + \cos^4 x;$

2) $y = \sin^6 x + \cos^6 x.$

1) $y = \sin^4 x + \cos^4 x$

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим выражение $\sin^4 x + \cos^4 x$ как $(\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2$. Дополним его до полного квадрата суммы, прибавив и вычтя $2\sin^2 x \cos^2 x$:

$y = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x)^2 + 2\sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Сгруппируем первые три слагаемых, чтобы получить квадрат суммы:

$y = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, подставим это значение в выражение:

$y = 1^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Возведя ее в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x$, откуда $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Подставим это в наше выражение для $y$:

$y = 1 - 2 \left( \frac{1}{4}\sin^2(2x) \right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$

Для дальнейшего упрощения применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $2\alpha = 4x$.

$y = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{4 - (1 - \cos(4x))}{4} = \frac{4 - 1 + \cos(4x)}{4} = \frac{3 + \cos(4x)}{4}$

Ответ: $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$

2) $y = \sin^6 x + \cos^6 x$

Для решения этой задачи представим выражение в виде суммы кубов: $y = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$.

Воспользуемся тождеством для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sin^2 x$ и $b = \cos^2 x$. Тогда, согласно основному тригонометрическому тождеству, $a+b = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Подставим $a$ и $b$ в тождество:

$y = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3(\sin^2 x \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Заменим $\sin^2 x + \cos^2 x$ на 1:

$y = 1^3 - 3(\sin^2 x \cos^2 x)(1) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь, как и в предыдущей задаче, воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Подставим это в наше выражение для $y$:

$y = 1 - 3 \left( \frac{1}{4}\sin^2(2x) \right) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

Применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ для $\alpha = 2x$:

$y = 1 - \frac{3}{4} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{3(1 - \cos(4x))}{8}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{8 - 3(1 - \cos(4x))}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos(4x)}{8} = \frac{5 + 3\cos(4x)}{8}$

Ответ: $y = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos(4x)$

10. Доказать ограниченность функции:

1) $y=\frac{\cos x}{1,5-\sin x}$;

2) $y=\frac{1}{\sqrt{3}-(\sin x+\cos x)}$.

1) $y = \frac{\cos x}{1.5 - \sin x}$

Для доказательства ограниченности функции необходимо показать, что существует такое число $C > 0$, что $|y| \le C$ для всех $x$ из области определения. Другими словами, нужно показать, что множество значений функции ограничено сверху и снизу.

Сначала рассмотрим знаменатель дроби: $1.5 - \sin x$.

Известно, что значения функции синус лежат в промежутке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Тогда для знаменателя получаем:

$1.5 - 1 \le 1.5 - \sin x \le 1.5 - (-1)$

$0.5 \le 1.5 - \sin x \le 2.5$

Знаменатель всегда положителен и не равен нулю, значит, функция определена для всех действительных чисел $x$.

Для нахождения множества значений функции $y$ преобразуем исходное уравнение:

$y = \frac{\cos x}{1.5 - \sin x} \implies y(1.5 - \sin x) = \cos x$

$1.5y - y \sin x = \cos x$

$y \sin x + \cos x = 1.5y$

Получили уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=y$, $b=1$, $c=1.5y$.

Такое уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется неравенство $a^2 + b^2 \ge c^2$.

Подставим наши значения:

$y^2 + 1^2 \ge (1.5y)^2$

$y^2 + 1 \ge 2.25y^2$

$1 \ge 2.25y^2 - y^2$

$1 \ge 1.25y^2$

$y^2 \le \frac{1}{1.25} \implies y^2 \le \frac{1}{5/4} \implies y^2 \le \frac{4}{5}$

Из этого неравенства следует, что $|y| \le \sqrt{\frac{4}{5}}$, то есть $|y| \le \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Таким образом, множество значений функции $E(y)$ есть отрезок $[-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}]$, что можно записать как $[-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}]$.

Так как множество значений функции является ограниченным отрезком, то функция является ограниченной.

Ответ: Функция ограничена, так как ее значения принадлежат отрезку $[-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}]$.

2) $y = \frac{1}{\sqrt{3} - (\sin x + \cos x)}$

Для доказательства ограниченности данной функции найдем ее область значений. Для этого сначала оценим выражение в знаменателе.

Рассмотрим сумму $S = \sin x + \cos x$. Преобразуем ее с помощью метода вспомогательного угла:

$S = \sin x + \cos x = \sqrt{1^2 + 1^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$

$S = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Так как $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то для суммы $S$ имеем:

$-\sqrt{2} \le \sin x + \cos x \le \sqrt{2}$

Теперь оценим знаменатель дроби $D = \sqrt{3} - (\sin x + \cos x)$.

Минимальное значение знаменателя достигается, когда $\sin x + \cos x$ максимально, то есть равно $\sqrt{2}$:

$D_{min} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Максимальное значение знаменателя достигается, когда $\sin x + \cos x$ минимально, то есть равно $-\sqrt{2}$:

$D_{max} = \sqrt{3} - (-\sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $D_{min} = \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$. Значит, знаменатель всегда положителен и не обращается в ноль. Функция определена для всех $x$.

Итак, знаменатель $D$ принимает значения в отрезке $[\sqrt{3} - \sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2}]$.

Функция $y = \frac{1}{D}$. Так как знаменатель $D$ положителен, функция $y$ также будет всегда положительна.

Наибольшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $D$, а наименьшее значение $y$ — при наибольшем значении $D$.

$y_{max} = \frac{1}{D_{min}} = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

$y_{min} = \frac{1}{D_{max}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Таким образом, множество значений функции $E(y)$ есть отрезок $[\sqrt{3} - \sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2}]$.

Так как множество значений функции является ограниченным отрезком, то функция является ограниченной.

Ответ: Функция ограничена, так как ее значения принадлежат отрезку $[\sqrt{3} - \sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2}]$.

11. Доказать, что функция $f(x)$ не является ограниченной в области её определения, если:

1) $f(x) = \frac{\cos x}{x};$

2) $f(x) = \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{\cos x}{x}$.
Область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Функция называется ограниченной в области определения, если существует такое число $M > 0$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $|f(x)| \leq M$. Чтобы доказать, что функция не является ограниченной, достаточно показать, что для любого сколь угодно большого числа $M$ найдется такое значение $x$, что $|f(x)| > M$.
Рассмотрим поведение функции в окрестности точки $x=0$. Вычислим правосторонний предел функции при $x$, стремящемся к нулю:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x}{x}$.
Поскольку предел числителя $\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$, а знаменатель $x$ стремится к нулю, оставаясь положительным (обозначается как $x \to 0^+$), получаем:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x}{x} = \left[\frac{1}{+0}\right] = +\infty$.
Тот факт, что предел функции при $x \to 0^+$ равен $+\infty$, означает, что функция не ограничена сверху. То есть, для любого, сколь угодно большого положительного числа $M$, можно найти такое значение $x > 0$ (достаточно близкое к нулю), что $f(x) = \frac{\cos x}{x} > M$.
Следовательно, функция $f(x)$ не является ограниченной в своей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$.
Область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Для доказательства неограниченности функции построим такую последовательность точек $\{x_n\}$ из области определения, для которой последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ будет стремиться к бесконечности.
Выберем последовательность $\{x_n\}$ так, чтобы значения $\sin\frac{1}{x_n}$ были максимальными, то есть равнялись 1. Это достигается, когда аргумент синуса равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ для любого целого $n$. Возьмем $n$ из множества натуральных чисел ($n \in \mathbb{N}$).
$\frac{1}{x_n} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n = 1, 2, 3, \ldots$
Отсюда выразим $x_n$:
$x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$.
Заметим, что при $n \to \infty$, знаменатель дроби стремится к бесконечности, значит $x_n \to 0$. При любом натуральном $n$ значение $x_n \neq 0$, следовательно, все члены последовательности $\{x_n\}$ принадлежат области определения функции.
Теперь найдём значения функции $f(x)$ в этих точках:
$f(x_n) = \frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{x_n} = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$.
Так как по нашему выбору $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 1$, получаем:
$f(x_n) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
Найдём предел этой последовательности значений функции при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = +\infty$.
Поскольку мы нашли последовательность точек, в которых значения функции неограниченно возрастают, функция $f(x)$ не является ограниченной сверху, а следовательно, не является ограниченной в своей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.