Страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

24. График функции $y=f(x)$, $x \in \mathbf{R}$, симметричен относительно каждой из прямых $x=a$, $x=b$, где $a \neq b$. Доказать, что $y=f(x)$ является периодической, и найти её период.

Доказательство периодичности и нахождение периода: Условие, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно вертикальной прямой $x=c$, означает, что для любой точки $x$ значение функции в точке, симметричной $x$ относительно $c$, будет таким же. Точка, симметричная $x$ относительно $c$, это $2c-x$. Таким образом, условие симметрии можно записать в виде равенства $f(x) = f(2c-x)$, которое выполняется для любого $x$ из области определения функции.
По условию задачи, график функции $f(x)$ симметричен относительно двух прямых: $x=a$ и $x=b$. Это дает нам два тождества:
1) $f(x) = f(2a - x)$
2) $f(x) = f(2b - x)$
Воспользуемся этими тождествами последовательно. Начнем с произвольного $x$ и применим первое свойство симметрии:
$f(x) = f(2a - x)$
Теперь к полученному выражению, а именно к функции от аргумента $(2a - x)$, применим второе свойство симметрии. Для этого в тождестве (2) заменим $x$ на $(2a - x)$:
$f(2a - x) = f(2b - (2a - x))$
Упростим выражение в аргументе функции справа:
$2b - (2a - x) = 2b - 2a + x = x + 2(b - a)$
Таким образом, мы можем составить следующую цепочку равенств:
$f(x) = f(2a - x) = f(x + 2(b - a))$
Из этой цепочки следует, что $f(x) = f(x + T)$, где $T = 2(b - a)$.
Поскольку по условию задачи $a \neq b$, то $T = 2(b - a) \neq 0$.
Равенство $f(x) = f(x + T)$ при $T \neq 0$, выполняющееся для всех $x$ из области определения, по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической.
Периодом функции является величина $T$. Так как период обычно принято считать положительным числом, то мы берем модуль найденного значения.
Ответ: функция является периодической, её период равен $T = 2|b - a|$.

25. График функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, симметричен относительно точки $A(a; b)$ и прямой $x = c$ ($c \ne a$). Доказать, что функция $y = f(x)$ является периодической, и найти её период.

По условию задачи, график функции $y=f(x)$ симметричен относительно точки $A(a; b)$. Симметрия относительно точки $A(a; b)$ означает, что для любой точки $(x, f(x))$ на графике, точка $(2a-x, 2b-f(x))$, симметричная ей относительно $A$, также лежит на графике. Алгебраически это записывается как равенство: $f(2a - x) = 2b - f(x)$ или $f(x) + f(2a - x) = 2b$ (1)

Также по условию задачи, график функции $y=f(x)$ симметричен относительно прямой $x=c$. Симметрия относительно вертикальной прямой $x=c$ означает, что для любой точки $(x, f(x))$ на графике, точка $(2c-x, f(x))$, симметричная ей относительно этой прямой, также лежит на графике. Алгебраически это записывается как равенство: $f(x) = f(2c - x)$ (2)

Теперь воспользуемся обоими условиями для доказательства периодичности функции. Применим равенство (2) к аргументу $2a - x$ из равенства (1). Для этого в равенстве (2) заменим $x$ на $2a - x$: $f(2a - x) = f(2c - (2a - x)) = f(2c - 2a + x)$ Теперь у нас есть два выражения для $f(2a-x)$. Приравняем правые части выражений из равенства (1) и из полученного выше: $2b - f(x) = f(x + 2(c - a))$ Перенеся $f(x)$ в правую часть, получим: $f(x) + f(x + 2(c - a)) = 2b$ (3)

Это соотношение показывает связь между значениями функции в точках, отстоящих друг от друга на $2(c-a)$. Чтобы доказать периодичность, то есть найти такое число $T$, что $f(x+T)=f(x)$, применим соотношение (3) еще раз. Заменим в равенстве (3) переменную $x$ на $x + 2(c - a)$: $f(x + 2(c - a)) + f((x + 2(c - a)) + 2(c - a)) = 2b$ $f(x + 2(c - a)) + f(x + 4(c - a)) = 2b$ Из равенства (3) мы можем выразить $f(x + 2(c - a)) = 2b - f(x)$. Подставим это выражение в полученное выше равенство: $(2b - f(x)) + f(x + 4(c - a)) = 2b$ Вычитая $2b$ из обеих частей, получаем: $-f(x) + f(x + 4(c - a)) = 0$ Отсюда следует: $f(x + 4(c - a)) = f(x)$

Это равенство по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической. Периодом функции является число $T = 4(c - a)$. Так как по условию $c \neq a$, то период $T \neq 0$. Таким образом, мы доказали, что функция является периодической, и нашли ее период.

Ответ: Функция является периодической, её период равен $T = 4(c - a)$.

26. Доказать, что функция $y = f(x)$ является периодической, если существует $T \neq 0$ такое, что для любых трёх значений $x$, $x+T$ и $x-T$ из области определения функции выполнено условие $f(x + T) = -f(x)$. Найти период функции $f$.

По условию задачи, для функции $y=f(x)$ существует число $T \neq 0$ такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = -f(x)$. Также из условия следует, что если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T$, и $x-T$ тоже ей принадлежат.

Доказательство периодичности функции.

Для того чтобы доказать, что функция является периодической, необходимо показать, что существует такое число $P \neq 0$, называемое периодом, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+P) = f(x)$.

Рассмотрим значение функции в точке $x+2T$. Аргумент можно представить в виде $(x+T)+T$.

Применим данное в условии свойство $f(z+T) = -f(z)$, взяв в качестве $z$ выражение $(x+T)$:

$f(x+2T) = f((x+T)+T) = -f(x+T)$

Теперь в полученном равенстве заменим $f(x+T)$ на $-f(x)$ согласно исходному условию:

$f(x+2T) = -(-f(x)) = f(x)$

Мы получили равенство $f(x+2T) = f(x)$. Поскольку по условию $T \neq 0$, то и $P=2T \neq 0$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической.

Нахождение периода функции.

Из доказательства выше следует, что число $2T$ является периодом функции $f(x)$. Это значение является периодом для любой функции, удовлетворяющей исходному условию.

Наименьший положительный (основной) период функции, который мы обозначим $P_0$, может быть меньше, чем $|2T|$. В общем случае $2T$ должно быть кратно основному периоду, $2T=k \cdot P_0$ для некоторого целого $k$. Можно показать, что для нетривиальной функции ($f(x) \not\equiv 0$) число $k$ должно быть нечетным.

Без дополнительной информации о функции $f(x)$ мы не можем однозначно определить основной период. Однако, на основании только предоставленных данных, единственным значением, которое гарантированно является периодом, является $2T$.

Ответ: Функция является периодической, что доказывается равенством $f(x+2T) = f(x)$. Период функции равен $2T$.

27. Пусть функция $f(x)$ определена на всей числовой прямой.

Доказать, что:

1) $f(x) + f(-x)$ — чётная функция;

2) $f(x) - f(-x)$ — нечётная функция.

1) f(x) + f(-x) — чётная функция;

Для доказательства введем новую функцию $g(x) = f(x) + f(-x)$.

По определению, функция является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $g(-x) = g(x)$. По условию, функция $f(x)$ определена на всей числовой прямой, значит, её область определения симметрична относительно нуля. Следовательно, область определения функции $g(x)$ также симметрична.

Проверим выполнение равенства. Найдем значение функции $g(x)$ в точке $-x$:

$g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x)$

Так как сложение коммутативно (обладает переместительным свойством), то $f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x)$.

Следовательно, мы получаем:

$g(-x) = f(x) + f(-x) = g(x)$

Равенство $g(-x) = g(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, значит, функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) f(x) - f(-x) — нечётная функция.

Аналогично, введем новую функцию $h(x) = f(x) - f(-x)$.

По определению, функция является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$. Область определения $h(x)$ также является всей числовой прямой и, следовательно, симметрична.

Проверим выполнение равенства. Найдем значение функции $h(x)$ в точке $-x$:

$h(-x) = f(-x) - f(-(-x)) = f(-x) - f(x)$

Теперь найдем выражение для $-h(x)$:

$-h(x) = -(f(x) - f(-x)) = -f(x) + f(-x) = f(-x) - f(x)$

Сравнивая полученные выражения для $h(-x)$ и $-h(x)$, видим, что они равны.

Равенство $h(-x) = -h(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, значит, функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ является нечётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.