Страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

39. Найти все принадлежащие промежутку $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ корни уравнения:

1) $\cos 2x = \frac{1}{2}$;

2) $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Решим уравнение $\cos(2x) = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение для $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделив на 2, получим общее решение для $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это дает две серии корней:

Первая серия: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$

Вторая серия: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, будем подставлять целые значения $k$:

• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $-\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.
• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{13\pi}{6} > \frac{3\pi}{2}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, будем подставлять целые значения $k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{11\pi}{6} > \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, все корни, принадлежащие заданному промежутку, это $-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

2) Решим уравнение $\cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 3x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение для $3x$:

$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделив на 3, получим общее решение для $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Это дает две серии корней:

Первая серия: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Вторая серия: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Для удобства приведем границы промежутка к знаменателю 18: $[-\frac{9\pi}{18}, \frac{27\pi}{18}]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, будем подставлять целые значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 24\pi}{18} = \frac{25\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{11\pi}{18}$. Не подходит, так как $-\frac{11\pi}{18} < -\frac{9\pi}{18}$.
• При $k = 3$, $x = \frac{\pi}{18} + 2\pi = \frac{37\pi}{18}$. Не подходит, так как $\frac{37\pi}{18} > \frac{27\pi}{18}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, будем подставлять целые значения $k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-\pi + 24\pi}{18} = \frac{23\pi}{18}$. Корень подходит.
• При $k = -1$, $x = -\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{13\pi}{18}$. Не подходит, так как $-\frac{13\pi}{18} < -\frac{9\pi}{18}$.
• При $k = 3$, $x = -\frac{\pi}{18} + 2\pi = \frac{35\pi}{18}$. Не подходит, так как $\frac{35\pi}{18} > \frac{27\pi}{18}$.

Таким образом, все корни, принадлежащие заданному промежутку, это $-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}, \frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}, \frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18}$.

40. Найти все корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, принадлежащие множеству решений неравенства $\log_2 (x-1)<3$.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти множество решений неравенства, а затем из всех корней тригонометрического уравнения выбрать те, которые принадлежат этому множеству.

Решение неравенства

Решим логарифмическое неравенство $ \log_2 (x-1) < 3 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ x-1 > 0 \implies x > 1 $

2. Преобразуем правую часть неравенства к логарифму с основанием 2:

$ 3 = 3 \cdot 1 = 3 \cdot \log_2 2 = \log_2 (2^3) = \log_2 8 $

Неравенство принимает вид:

$ \log_2 (x-1) < \log_2 8 $

3. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 t $ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x - 1 < 8 \implies x < 9 $

4. Объединим полученное решение с ОДЗ ($ x > 1 $):

$ \begin{cases} x > 1 \\ x < 9 \end{cases} $

Таким образом, множество решений неравенства — это интервал $ (1; 9) $.

Ответ: $ x \in (1; 9) $.

Решение тригонометрического уравнения

Решим уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общая формула для его решения:

$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Вычислим значение арккосинуса, используя свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $:

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Подставим это значение в общую формулу. Корни уравнения образуют две серии:

$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Отбор корней, принадлежащих заданному промежутку

Теперь необходимо найти все значения $ x $ из полученных серий, которые лежат в интервале $ (1; 9) $. Для оценки будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.1416 $.

1. Рассмотрим первую серию корней: $ x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Подставим различные целые значения $ n $:

• При $ n = 0 $: $ x = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.1416}{6} \approx 2.618 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 2.618 < 9 $.
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx \frac{17 \cdot 3.1416}{6} \approx 8.901 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 8.901 < 9 $.
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx 15.18 > 9 $. Этот корень не подходит, как и все последующие при $ n \ge 2 $.
• При $ n = -1 $: $ x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} < 1 $. Этот корень не подходит, как и все предыдущие при $ n \le -1 $.

2. Рассмотрим вторую серию корней: $ x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Подставим различные целые значения $ n $:

• При $ n = 0 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} < 1 $. Корень не подходит.
• При $ n = 1 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \approx \frac{7 \cdot 3.1416}{6} \approx 3.665 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 1 < 3.665 < 9 $.
• При $ n = 2 $: $ x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.948 > 9 $. Этот корень не подходит, как и все последующие при $ n \ge 2 $.

В результате отбора мы получили три корня, которые принадлежат множеству решений неравенства.

Ответ: $ \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} $.

41. Найти все принадлежащие промежутку $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ решения неравенства:

1) $\cos 2x < \frac{1}{2}$;

2) $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

1)

Требуется найти все решения неравенства $\cos{2x} < \frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Для решения этого неравенства введем замену переменной. Пусть $t = 2x$.
Определим, в каком промежутке находится переменная $t$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$, умножим все части двойного неравенства на 2: $2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2x \le 2 \cdot \frac{3\pi}{2}$, что дает $-\pi \le t \le 3\pi$.

Теперь наша задача — решить неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ на промежутке $t \in [-\pi, 3\pi]$.

Сначала рассмотрим уравнение $\cos t = \frac{1}{2}$. Его решениями являются $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ выполняется для тех значений $t$, которые на тригонометрической окружности лежат в дуге между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$. Общее решение этого неравенства: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем из этих решений те, которые попадают в наш промежуток $t \in [-\pi, 3\pi]$. Для этого переберем значения $n$:

• При $n=-1$: $-\frac{5\pi}{3} < t < -\frac{\pi}{3}$. Пересечение с промежутком $[-\pi, 3\pi]$ дает $[-\pi, -\frac{\pi}{3})$.
• При $n=0$: $\frac{\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{3}$. Этот интервал полностью входит в промежуток $[-\pi, 3\pi]$.
• При $n=1$: $\frac{7\pi}{3} < t < \frac{11\pi}{3}$. Пересечение с промежутком $[-\pi, 3\pi]$ (учитывая, что $3\pi = \frac{9\pi}{3}$) дает $(\frac{7\pi}{3}, 3\pi]$.

Объединяя найденные интервалы для $t$, получаем: $t \in [-\pi, -\frac{\pi}{3}) \cup (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}) \cup (\frac{7\pi}{3}, 3\pi]$.

Произведем обратную замену $x = t/2$. Для этого разделим концы полученных интервалов на 2:

• Из $t \in [-\pi, -\frac{\pi}{3})$ следует $x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6})$.
• Из $t \in (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$ следует $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.
• Из $t \in (\frac{7\pi}{3}, 3\pi]$ следует $x \in (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}]$.

2)

Требуется найти все решения неравенства $\cos{3x} > \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Введем замену переменной $t = 3x$.
Определим промежуток для $t$. Умножим неравенство $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ на 3: $3 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 3x \le 3 \cdot \frac{3\pi}{2}$, что дает $-\frac{3\pi}{2} \le t \le \frac{9\pi}{2}$.

Решим неравенство $\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $t \in [-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.

Общее решение неравенства $\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует значениям $t$, для которых $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{6}$ в пределах одного периода. Таким образом, общее решение: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, попадающие в промежуток $t \in [-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.

• При $n=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{6}$. Этот интервал полностью входит в $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.
• При $n=1$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi$, то есть $\frac{11\pi}{6} < t < \frac{13\pi}{6}$. Этот интервал также полностью входит в $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.
• При $n=2$: $-\frac{\pi}{6} + 4\pi < t < \frac{\pi}{6} + 4\pi$, то есть $\frac{23\pi}{6} < t < \frac{25\pi}{6}$. Этот интервал также входит в $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$, так как $\frac{9\pi}{2} = \frac{27\pi}{6}$.

При $n=-1$ и $n=3$ получаемые интервалы лежат вне заданного промежутка для $t$.

Таким образом, решения для $t$: $t \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}) \cup (\frac{23\pi}{6}, \frac{25\pi}{6})$.

Произведем обратную замену $x = t/3$:

• Из $t \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$ следует $x \in (-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18})$.
• Из $t \in (\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$ следует $x \in (\frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18})$.
• Из $t \in (\frac{23\pi}{6}, \frac{25\pi}{6})$ следует $x \in (\frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18})$.

Все найденные интервалы для $x$ лежат внутри исходного промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}) \cup (\frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}) \cup (\frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18})$.

42. Найти множество значений функции $y=\cos x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $\left[\frac{\pi}{3}; \pi\right];$

2) $\left(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right).$

1) Для нахождения множества значений функции $y = \cos x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{3}; \pi]$, проанализируем поведение функции на этом промежутке.
Функция $y = \cos x$ является непрерывной и монотонно убывающей на всем отрезке $[0; \pi]$. Поскольку отрезок $[\frac{\pi}{3}; \pi]$ является частью отрезка $[0; \pi]$, функция $y = \cos x$ также убывает на нем.
При монотонном убывании на отрезке наибольшее значение достигается в его начальной точке, а наименьшее — в конечной.
Вычислим значения функции на границах отрезка:

• Наибольшее значение (в точке $x=\frac{\pi}{3}$): $y(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
• Наименьшее значение (в точке $x=\pi$): $y(\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Так как функция непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением. Следовательно, множество значений функции на данном отрезке — это промежуток от $-1$ до $\frac{1}{2}$ включительно.

Ответ: $[-1; \frac{1}{2}]$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = \cos x$ на интервале $x \in (\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$, исследуем ее монотонность на этом промежутке.
Для этого найдем производную функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.
Интервал $(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$ соответствует дуге в третьей и четвертой четвертях единичной окружности (от 225° до 315°). На этом интервале синус принимает отрицательные значения, то есть $\sin x < 0$.
Следовательно, производная $y' = -\sin x$ будет положительной ($y' > 0$) на всем интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$. Это означает, что функция $y = \cos x$ является строго возрастающей на данном интервале.
Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на открытом интервале, ее множество значений будет также открытым интервалом. Границы этого интервала определяются значениями функции в граничных точках исходного интервала (сами эти значения не включаются).
Вычислим значения в граничных точках:

• Значение в левой границе (при $x \to \frac{5\pi}{4}$): $\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Значение в правой границе (при $x \to \frac{7\pi}{4}$): $\cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, множество значений функции на данном интервале — это все числа между $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$, не включая концы.

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

43. Найти промежутки возрастания функции $y = \cos 2x + \sin^2 x$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции, необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она положительна.

Сначала упростим заданную функцию $y = \cos 2x + \sin^2 x$, используя тригонометрические формулы.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходную функцию: $y = (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Таким образом, мы получили упрощенный вид функции: $y = \cos^2 x$.

Теперь найдем производную этой функции. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Тогда производная примет вид:

$y' = -\sin 2x$.

Функция возрастает там, где ее производная положительна, то есть $y' > 0$. Решим неравенство:

$-\sin 2x > 0$

$\sin 2x < 0$

Нам нужно найти решения этого неравенства на отрезке $x \in [0, 2\pi]$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2x$. Так как $0 \le x \le 2\pi$, то $0 \le 2x \le 4\pi$, следовательно, $t \in [0, 4\pi]$.

Решаем неравенство $\sin t < 0$ на промежутке $t \in [0, 4\pi]$. Функция синус отрицательна в III и IV координатных четвертях. На первом обороте ($t \in [0, 2\pi]$) это интервал $(\pi, 2\pi)$. На втором обороте ($t \in [2\pi, 4\pi]$) это интервал $(3\pi, 4\pi)$.

Таким образом, решения для $t$: $t \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi)$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:

1) $\pi < t < 2\pi \implies \pi < 2x < 2\pi \implies \frac{\pi}{2} < x < \pi$.

2) $3\pi < t < 4\pi \implies 3\pi < 2x < 4\pi \implies \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$.

Производная $y'$ строго положительна на интервалах $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$. Поскольку исходная функция непрерывна на всем отрезке $[0, 2\pi]$, то промежутками возрастания являются отрезки, включающие свои концы (в которых производная равна нулю).

Следовательно, функция $y = \cos 2x + \sin^2 x$ возрастает на отрезках $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.

Ответ: $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.

44. Решить графически уравнение:

1) $ \cos x = 1 - \frac{2x}{\pi} $;

2) $ \cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $;

3) $ \cos x = 1 + \sqrt{x - 2\pi} $;

4) $ \cos x = x + \frac{\pi}{2} $.

1) $\cos x = 1 - \frac{2x}{\pi}$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \cos x$ и $y = 1 - \frac{2x}{\pi}$.

$y = \cos x$ — это стандартная косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.

$y = 1 - \frac{2x}{\pi}$ — это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = 1 - \frac{2 \cdot 0}{\pi} = 1$. Точка $(0, 1)$.
- Если $x = \frac{\pi}{2}$, то $y = 1 - \frac{2 \cdot (\pi/2)}{\pi} = 1 - 1 = 0$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Построим оба графика. Заметим, что график функции $y = \cos x$ также проходит через точку $(0, 1)$, так как $\cos(0) = 1$. Также он проходит через точку $(\frac{\pi}{2}, 0)$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Проверим еще одну возможную точку пересечения. Возьмем $x = \pi$:
- Для первой функции: $y = \cos(\pi) = -1$.
- Для второй функции: $y = 1 - \frac{2\pi}{\pi} = 1 - 2 = -1$.
Следовательно, точка $(\pi, -1)$ также является точкой пересечения.

При $x > \pi$ значения функции $y = 1 - \frac{2x}{\pi}$ становятся меньше -1, в то время как значения функции $y = \cos x$ остаются в пределах от -1 до 1. При $x < 0$ значения прямой $y = 1 - \frac{2x}{\pi}$ становятся больше 1. Таким образом, других точек пересечения нет.

Графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$ и $x_3 = \pi$.

Ответ: $0, \frac{\pi}{2}, \pi$.

2) $\cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$.

Область определения функции $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$ задается условием $x - \frac{\pi}{2} \geq 0$, то есть $x \geq \frac{\pi}{2}$. Область значений этой функции $y \geq 0$.

Поскольку $\cos x$ должен быть равен неотрицательной величине, то $\cos x \geq 0$.

Рассмотрим точку $x = \frac{\pi}{2}$:
- Для первой функции: $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
- Для второй функции: $y = \sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = 0$.
Следовательно, $x = \frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения.

При $x > \frac{\pi}{2}$ функция $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$ является возрастающей. Рассмотрим поведение функций на промежутках, где $x > \frac{\pi}{2}$ и $\cos x \geq 0$. Это промежутки вида $[\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \frac{5\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ - целое неотрицательное число.

На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, $\cos x < 0$, а $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}} > 0$, поэтому решений нет.

На промежутке $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ функция $\cos x$ возрастает от 0 до 1, а затем убывает до 0. В то же время, $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$ продолжает возрастать. При $x = 2\pi$ имеем $\cos(2\pi) = 1$, а $\sqrt{2\pi - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{3\pi}{2}} \approx \sqrt{4.71} > 2$. Так как $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$ растет быстрее и уже при $x=2\pi$ ее значение больше максимального значения $\cos x$, других пересечений не будет.

Единственная точка пересечения графиков имеет абсциссу $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) $\cos x = 1 + \sqrt{x - 2\pi}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = 1 + \sqrt{x - 2\pi}$.

Рассмотрим области значений функций. Для $y=\cos x$ область значений — $[-1, 1]$.

Для функции $y = 1 + \sqrt{x - 2\pi}$:
- Область определения: $x - 2\pi \geq 0 \implies x \geq 2\pi$.
- Поскольку $\sqrt{x-2\pi} \ge 0$, то $1 + \sqrt{x-2\pi} \ge 1$. Таким образом, область значений этой функции — $[1, \infty)$.

Равенство $\cos x = 1 + \sqrt{x - 2\pi}$ возможно только в том случае, если обе части уравнения равны 1.
Это требует одновременного выполнения двух условий:
1) $\cos x = 1$, что выполняется при $x = 2\pi k$ для целых $k$.
2) $1 + \sqrt{x - 2\pi} = 1$, что означает $\sqrt{x - 2\pi} = 0$, откуда $x = 2\pi$.

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x = 2\pi$. При этом значении $k=1$.

Графически это означает, что в точке $x=2\pi$ оба графика касаются друг друга: $\cos(2\pi) = 1$ и $1 + \sqrt{2\pi - 2\pi} = 1$. При $x > 2\pi$ имеем $\cos x \le 1$, а $1 + \sqrt{x - 2\pi} > 1$, поэтому других точек пересечения нет.

Ответ: $2\pi$.

4) $\cos x = x + \frac{\pi}{2}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x + \frac{\pi}{2}$.

$y = \cos x$ — косинусоида.

$y = x + \frac{\pi}{2}$ — прямая линия. Найдем её точки пересечения с осями:
- При $x = 0$, $y = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, \frac{\pi}{2})$.
- При $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(-\frac{\pi}{2}, 0)$.

Проверим точку $x = -\frac{\pi}{2}$ на принадлежность обоим графикам:
- Для первой функции: $y = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
- Для второй функции: $y = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Точка $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ является точкой пересечения.

Чтобы определить, есть ли другие точки пересечения, можно сравнить наклоны графиков. Наклон прямой $y = x + \frac{\pi}{2}$ постоянен и равен 1. Наклон касательной к графику $y = \cos x$ равен производной $(\cos x)' = -\sin x$.

В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ наклон касательной к косинусоиде равен $-\sin(-\frac{\pi}{2}) = -(-1) = 1$.

Поскольку в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ значения функций и их производных совпадают, прямая $y = x + \frac{\pi}{2}$ является касательной к графику $y = \cos x$ в этой точке.

Так как функция $y = \cos x$ является вогнутой на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, её график (кроме точки касания) лежит ниже касательной. Для всех остальных $x$ значения $\cos x$ будут меньше значений $x + \frac{\pi}{2}$. Следовательно, других точек пересечения нет.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

45. С помощью графиков выяснить, имеет ли решение система уравнений:

1) $ \begin{cases} y = \log_2 x - 1, \\ y = \cos x; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = \frac{x^2 + 2}{x^2}, \\ y = \cos x. \end{cases} $

1)

Чтобы выяснить, имеет ли решение система уравнений, необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = \log_2 x - 1$ и $y = \cos x$. Решением системы являются точки пересечения этих графиков.

Анализ графика функции $y = \log_2 x - 1$.
Это стандартный график логарифмической функции $y = \log_2 x$, который сдвинут на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
Область определения функции: $x > 0$.
Функция является строго возрастающей на всей области определения.
Ось OY (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
Найдем некоторые точки графика: при $x=1$, $y = \log_2 1 - 1 = -1$; при $x=2$, $y = \log_2 2 - 1 = 0$.

Анализ графика функции $y = \cos x$.
Это график стандартной функции косинуса.
Область определения: все действительные числа.
Область значений: отрезок $[-1, 1]$.

Поиск точек пересечения.
Поскольку область значений функции $y = \cos x$ это $[-1, 1]$, то нас интересуют только те участки графика $y = \log_2 x - 1$, где его значения также находятся в пределах от -1 до 1.
Найдем, при каких $x$ это происходит:
$y = -1 \implies \log_2 x - 1 = -1 \implies \log_2 x = 0 \implies x = 1$.
$y = 1 \implies \log_2 x - 1 = 1 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 4$.
Следовательно, возможные пересечения могут лежать только на отрезке $x \in [1, 4]$.

Сравним значения функций в некоторых точках этого отрезка.
При $x = \pi/2 \approx 1.57$:
$y_1 = \log_2(\pi/2) - 1 < \log_2(2) - 1 = 0$.
$y_2 = \cos(\pi/2) = 0$.
Здесь $y_1 < y_2$, то есть график логарифма находится ниже графика косинуса.
При $x=2$:
$y_1 = \log_2(2) - 1 = 0$.
$y_2 = \cos(2) \approx -0.42$.
Здесь $y_1 > y_2$, то есть график логарифма находится выше графика косинуса.

Поскольку обе функции непрерывны, а на интервале $(\pi/2, 2)$ их графики поменялись местами (график логарифма был ниже, а стал выше), это означает, что они должны были пересечься где-то на этом интервале. Следовательно, у системы есть как минимум одно решение.

Ответ: система имеет решение.

2)

Рассмотрим систему уравнений и проанализируем функции $y = \frac{x^2+2}{x^2}$ и $y = \cos x$.

Анализ графика функции $y = \frac{x^2+2}{x^2}$.
Преобразуем выражение: $y = \frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2} = 1 + \frac{2}{x^2}$.
Область определения функции: $x \ne 0$.
Так как $x^2$ всегда положительно при $x \ne 0$, то и слагаемое $\frac{2}{x^2}$ всегда будет положительным.
Следовательно, значение функции $y = 1 + \frac{2}{x^2}$ всегда будет строго больше 1.
Таким образом, область значений этой функции — интервал $(1, +\infty)$.

Анализ графика функции $y = \cos x$.
Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$.

Поиск точек пересечения.
Сравним области значений двух функций. Для первой функции $y > 1$, для второй $y \le 1$.
Области значений этих функций не пересекаются: $(1, +\infty) \cap [-1, 1] = \emptyset$.
Это означает, что для любого допустимого значения $x$ значение первой функции всегда будет больше значения второй. Графики этих функций никогда не пересекутся.

Ответ: система не имеет решений.

46. Сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} y = \cos \frac{x}{2}, \\ y = -x^2 + 6x - 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = \cos x, \\ y = \log_{7} x? \end{cases}$

1)

Для определения количества решений системы уравнений найдем число точек пересечения графиков функций $y = \cos\frac{x}{2}$ и $y = -x^2 + 6x - 8$.

Проанализируем каждую функцию.

Функция $y = -x^2 + 6x - 8$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее вершину. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. Координата $y$ вершины: $y_v = -(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, 1)$, и максимальное значение этой функции равно 1. Для всех остальных $x \neq 3$ значение функции $y = -x^2 + 6x - 8$ строго меньше 1.

Функция $y = \cos\frac{x}{2}$ — это тригонометрическая функция, область значений которой — отрезок $[-1, 1]$. Ее максимальное значение также равно 1.

Поскольку максимальное значение обеих функций равно 1, их графики могут иметь общие точки только при условии $y \le 1$.

Рассмотрим, в каких точках достигается максимальное значение $y=1$.

• Для параболы $y = -x^2 + 6x - 8$ это происходит только в ее вершине, при $x = 3$.
• Для функции $y = \cos\frac{x}{2}$ значение 1 достигается, когда $\frac{x}{2} = 2\pi k$ для целого $k$, то есть $x = 4\pi k$.

Поскольку $x=3$ не может быть представлено в виде $4\pi k$ (так как $\pi$ иррационально), то точки максимума у графиков не совпадают. Следовательно, нет решений, где $y=1$.

Теперь выясним, могут ли графики пересекаться при $y < 1$. Пересечения возможны только в том случае, если значения параболы лежат в области значений косинуса, то есть $-1 \le -x^2 + 6x - 8 \le 1$. Решим неравенство $-x^2 + 6x - 8 \ge -1$, чтобы найти интервал, за пределами которого решений точно нет.

$-x^2 + 6x - 7 \ge 0$

$x^2 - 6x + 7 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Следовательно, решения системы могут существовать только на отрезке $[3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}]$. Приблизительно это отрезок $[1.58, 4.42]$.

Рассмотрим поведение функций на этом интервале. Найдем точки пересечения, решая уравнение $\cos\frac{x}{2} = -x^2 + 6x - 8$. Введем вспомогательную функцию $h(x) = \cos\frac{x}{2} - (-x^2 + 6x - 8) = \cos\frac{x}{2} + x^2 - 6x + 8$. Количество решений системы равно количеству корней уравнения $h(x) = 0$.

Найдем значения $h(x)$ в некоторых характерных точках. Корни параболы $x=2$ и $x=4$ лежат внутри нашего интервала.

• При $x=2$: $h(2) = \cos\frac{2}{2} + 2^2 - 6(2) + 8 = \cos(1) + 4 - 12 + 8 = \cos(1)$. Поскольку $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, то $\cos(1) > 0$.
• При $x=3$: $h(3) = \cos\frac{3}{2} + 3^2 - 6(3) + 8 = \cos(1.5) + 9 - 18 + 8 = \cos(1.5) - 1$. Поскольку $\cos(1.5) < 1$, то $h(3) < 0$.

Так как функция $h(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[2, 3]$ принимает значения разных знаков ($h(2) > 0$, $h(3) < 0$), на интервале $(2, 3)$ существует как минимум один корень. Производная $h'(x) = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} + 2x - 6$. На интервале $(2, 3)$ имеем $2x-6 < 0$ и $\sin\frac{x}{2} > 0$, следовательно $h'(x) < 0$. Функция $h(x)$ монотонно убывает на этом интервале, значит корень единственный.

• При $x=4$: $h(4) = \cos\frac{4}{2} + 4^2 - 6(4) + 8 = \cos(2) + 16 - 24 + 8 = \cos(2)$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \frac{3\pi}{2}$, то $\cos(2) < 0$.
• При $x=3+\sqrt{2} \approx 4.42$: $h(3+\sqrt{2}) = \cos\frac{3+\sqrt{2}}{2} - (-(3+\sqrt{2})^2 + 6(3+\sqrt{2}) - 8)$. Мы знаем, что в этой точке парабола равна -1, поэтому $h(3+\sqrt{2}) = \cos\frac{3+\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 + \cos\frac{3+\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\frac{3+\sqrt{2}}{2} \approx 2.21$ и $\cos(y) \ge -1$, то $1+\cos(y) \ge 0$. Равенство нулю возможно только если $y=\pi$, но $\frac{3+\sqrt{2}}{2} \neq \pi$. Значит, $h(3+\sqrt{2}) > 0$.

На отрезке $[4, 3+\sqrt{2}]$ функция $h(x)$ меняет знак с отрицательного ($h(4) < 0$) на положительный ($h(3+\sqrt{2}) > 0$), значит, на интервале $(4, 3+\sqrt{2})$ есть как минимум один корень. Производная $h'(x) = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} + 2x - 6$. На этом интервале $2x-6 > 2(4)-6=2$, а $|\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}| \le \frac{1}{2}$. Таким образом, $h'(x) > 2 - \frac{1}{2} = 1.5 > 0$. Функция $h(x)$ монотонно возрастает, значит корень единственный.

Итого, мы нашли два интервала, на каждом из которых есть ровно одно решение. Общее количество решений — 2.

Ответ: 2

2)

Для определения количества решений системы уравнений найдем число точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = \log_7 x$.

Проанализируем каждую функцию.

• Функция $y = \cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, ее область значений — отрезок $[-1, 1]$.
• Функция $y = \log_7 x$ определена для $x > 0$. Это монотонно возрастающая функция.

Поскольку для любого решения системы должно выполняться $y = \cos x$, то значение $y$ должно лежать в отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, нас интересуют только те $x$, для которых $-1 \le \log_7 x \le 1$.

Решим это двойное неравенство:

$\log_7 (7^{-1}) \le \log_7 x \le \log_7 (7^1)$

Так как основание логарифма $7 > 1$, функция возрастающая, поэтому $\frac{1}{7} \le x \le 7$.

Таким образом, все возможные решения системы лежат в интервале $x \in [\frac{1}{7}, 7]$.

Рассмотрим поведение функций на этом отрезке, разбив его на части.

1. Интервал $[\frac{1}{7}, 1)$. Здесь $\log_7 x \le 0$ (причем равенство нулю только при $x=1$). В то же время, $x$ находится в интервале $[\frac{1}{7}, 1)$, что примерно равно $[0.14, 1)$. На этом интервале $\cos x > \cos(1) > 0$. Так как $\cos x$ положителен, а $\log_7 x$ не положителен, на этом интервале решений нет.
2. Интервал $[1, \frac{\pi}{2}]$. ($\frac{\pi}{2} \approx 1.57$).На этом отрезке $y = \cos x$ — убывающая функция (от $\cos(1) > 0$ до $0$).А $y = \log_7 x$ — возрастающая функция (от $0$ до $\log_7(\frac{\pi}{2}) > 0$).В точке $x=1$: $\cos(1) > 0$, а $\log_7(1) = 0$. Значит, $\cos x > \log_7 x$.В точке $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, а $\log_7(\frac{\pi}{2}) > 0$. Значит, $\cos x < \log_7 x$.Поскольку на отрезке $[1, \frac{\pi}{2}]$ одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, и их значения "меняются местами", они могут пересечься только один раз. Следовательно, здесь ровно одно решение.
3. Интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. ($\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$). На этом интервале $x > 1$, поэтому $\log_7 x > 0$. В то же время $\cos x \le 0$. Решений здесь нет.
4. Интервал $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$. ($2\pi \approx 6.28$).На этом отрезке обе функции, $y = \cos x$ и $y = \log_7 x$, возрастают.В точке $x=\frac{3\pi}{2}$: $\cos(\frac{3\pi}{2})=0$, а $\log_7(\frac{3\pi}{2}) > 0$. Значит, $\cos x < \log_7 x$.В точке $x=2\pi$: $\cos(2\pi)=1$, а $\log_7(2\pi) < \log_7(7) = 1$. Значит, $\cos x > \log_7 x$.Поскольку функции непрерывны и их значения "меняются местами", на интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ есть как минимум одно решение. Анализ производных показывает, что здесь ровно одно решение.
5. Интервал $(2\pi, 7]$.На этом отрезке $y = \cos x$ — убывающая функция.А $y = \log_7 x$ — возрастающая функция.В точке $x=2\pi$ мы уже видели, что $\cos x > \log_7 x$.В точке $x=7$: $\cos(7) = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(0.72) < 1$, а $\log_7(7) = 1$. Значит, $\cos x < \log_7 x$.Так как убывающая и возрастающая функции поменяли взаимное расположение, они пересекаются ровно один раз.

В итоге, мы нашли три интервала, на каждом из которых существует ровно одно решение: $(1, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ и $(2\pi, 7)$.

Ответ: 3

47. Построить график и установить свойства функции:

1) $y = 1 + \cos x;$

2) $y = \cos 2x;$

3) $y = 3\cos x;$

4) $y = 2\cos \frac{x}{2};$

5) $y = \frac{\cos 2x}{2} - 1;$

6) $y = 2 - \cos 3x.$

48. Построить график функции:

1) $y = |\cos x|;$

2) $y = 3 - 2\cos(x - 1);$

3) $y = \sin x \operatorname{ctg} x;$

4) $y = 2^{\cos x}.$

1) Для построения графика функции $y = |\cos x|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой функции $y = \cos x$. Это известная периодическая функция (косинусоида) с периодом $2\pi$, которая колеблется в диапазоне от -1 до 1.
2. Применение модуля к функции, то есть преобразование $f(x) \to |f(x)|$, означает, что все значения функции становятся неотрицательными. Графически это соответствует следующему:
   • Части графика, которые находятся выше или на оси абсцисс (где $\cos x \ge 0$), остаются без изменений.
   • Части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), симметрично отражаются относительно этой оси.
3. Таким образом, "впадины" косинусоиды, уходящие в отрицательную область, "выгибаются" вверх, превращаясь в "холмы". Например, участок графика на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, где $\cos x$ отрицателен, отразится вверх.

В результате получается новый периодический график. Его основные свойства:

• Область значений: $y \in [0, 1]$.
• Период: исходный период $2\pi$ уменьшается вдвое, новый период равен $\pi$.
• Максимумы функции равны 1 и достигаются в точках $x = \pi k$, где $k$ - целое число.
• Минимумы функции равны 0 и достигаются в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число.

Ответ: График функции $y=|\cos x|$ получается из графика $y=\cos x$ путем симметричного отражения всех частей графика, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. В результате получается периодическая "волнистая" линия, не опускающаяся ниже оси Ox, с периодом $\pi$ и диапазоном значений $[0, 1]$.

2) Для построения графика функции $y = 3 - 2\cos(x - 1)$ выполним последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \cos x$:

1. $y = \cos x$ (базовый график): Стандартная косинусоида.
2. $y = \cos(x - 1)$ (сдвиг по оси Ox): График $y = \cos x$ сдвигается вправо на 1 единицу. Теперь максимум функции достигается не в точке $x=0$, а в точке $x=1$.
3. $y = 2\cos(x - 1)$ (растяжение по оси Oy): Амплитуда колебаний увеличивается в 2 раза. График растягивается от оси Ox в 2 раза. Диапазон значений становится $[-2, 2]$.
4. $y = -2\cos(x - 1)$ (отражение относительно оси Ox): Знак "минус" перед функцией отражает график симметрично относительно оси Ox. Максимумы становятся минимумами, и наоборот. Теперь в точке $x=1$ будет не максимум, а минимум, равный -2.
5. $y = 3 - 2\cos(x - 1)$ (сдвиг по оси Oy): График, полученный на предыдущем шаге, сдвигается вверх на 3 единицы.

Итоговые свойства графика:

• Период функции не изменился и равен $2\pi$.
• Диапазон значений: исходный диапазон $[-2, 2]$ для функции $y=-2\cos(x-1)$ смещается на +3 и становится $[-2+3, 2+3]$, то есть $[1, 5]$.
• График колеблется вокруг горизонтальной линии $y=3$.
• Минимальные значения, равные 1, достигаются при $\cos(x-1)=1$, то есть при $x-1=2\pi k \implies x = 1 + 2\pi k$.
• Максимальные значения, равные 5, достигаются при $\cos(x-1)=-1$, то есть при $x-1=\pi+2\pi k \implies x = 1 + \pi + 2\pi k$.

Ответ: График функции $y = 3 - 2\cos(x - 1)$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, сдвинутая на 1 вправо, растянутая в 2 раза по вертикали, отраженная относительно оси абсцисс и поднятая на 3 единицы вверх. Колебания происходят в диапазоне от 1 до 5.

3) Рассмотрим функцию $y = \sin x \ctg x$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Функция котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть когда $\sin x = 0$. Это происходит в точках $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Упрощение функции: На всей области определения мы можем упростить выражение: $y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$.
3. Построение графика: График данной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ во всех точках, кроме тех, которые не входят в ОДЗ. В точках $x = \pi k$ на графике будут "выколотые" точки (разрывы).
4. Найдем координаты этих выколотых точек:
   • При $x=0$: $y = \cos(0) = 1$. Точка $(0, 1)$ выколота.
   • При $x=\pi$: $y = \cos(\pi) = -1$. Точка $(\pi, -1)$ выколота.
   • При $x=2\pi$: $y = \cos(2\pi) = 1$. Точка $(2\pi, 1)$ выколота.
   • В общем виде: в точках с абсциссами $x = \pi k$ на графике косинусоиды будут выколоты точки с координатами $(\pi k, \cos(\pi k))$, то есть $(\pi k, (-1)^k)$.

Ответ: Графиком функции $y = \sin x \ctg x$ является график функции $y = \cos x$ с выколотыми точками в местах, где $x = \pi k$ для всех целых $k$. Координаты выколотых точек: $(\pi k, (-1)^k)$.

4) Рассмотрим функцию $y = 2^{\cos x}$. Это сложная функция.

1. Анализ функции: Внешняя функция — показательная $f(u) = 2^u$, внутренняя — тригонометрическая $u(x) = \cos x$.
2. Область определения и область значений:
   • Функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область ее значений: $[-1, 1]$.
   • Поскольку основание показательной функции $2 > 1$, функция $y = 2^u$ является возрастающей. Следовательно, ее наименьшее и наибольшее значения будут достигаться при наименьшем и наибольшем значениях показателя степени $\cos x$.
   • Минимальное значение функции: $y_{min} = 2^{\min(\cos x)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
   • Максимальное значение функции: $y_{max} = 2^{\max(\cos x)} = 2^{1} = 2$.
   • Таким образом, область значений функции $y \in [\frac{1}{2}, 2]$.
3. Периодичность: Так как функция $\cos x$ периодична с периодом $2\pi$, то и вся функция $y = 2^{\cos x}$ будет периодична с тем же периодом $2\pi$.
4. Построение графика: Для построения достаточно рассмотреть один период, например, отрезок $[0, 2\pi]$. Найдем значения в ключевых точках:
   • При $x=0$: $\cos(0) = 1 \implies y = 2^1 = 2$ (максимум).
   • При $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \implies y = 2^0 = 1$.
   • При $x=\pi$: $\cos(\pi) = -1 \implies y = 2^{-1} = 0.5$ (минимум).
   • При $x=\frac{3\pi}{2}$: $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \implies y = 2^0 = 1$.
   • При $x=2\pi$: $\cos(2\pi) = 1 \implies y = 2^1 = 2$ (снова максимум).

График представляет собой гладкую периодическую кривую, которая колеблется между $y=0.5$ и $y=2$. В отличие от синусоиды, "холмы" этого графика более острые, а "впадины" — более пологие. Функция является четной, так как $\cos(-x) = \cos(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = 2^{\cos x}$ — это периодическая кривая с периодом $2\pi$, которая колеблется в диапазоне от $\frac{1}{2}$ до $2$. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x=2\pi k$, а минимумы, равные 0.5, в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ - целое число.