Номер 48, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 48, страница 21.

Условие.

48. Построить график функции:

1) $y = |\cos x|;$

2) $y = 3 - 2\cos(x - 1);$

3) $y = \sin x \operatorname{ctg} x;$

4) $y = 2^{\cos x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для построения графика функции $y = |\cos x|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой функции $y = \cos x$. Это известная периодическая функция (косинусоида) с периодом $2\pi$, которая колеблется в диапазоне от -1 до 1.
2. Применение модуля к функции, то есть преобразование $f(x) \to |f(x)|$, означает, что все значения функции становятся неотрицательными. Графически это соответствует следующему:
   • Части графика, которые находятся выше или на оси абсцисс (где $\cos x \ge 0$), остаются без изменений.
   • Части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), симметрично отражаются относительно этой оси.
3. Таким образом, "впадины" косинусоиды, уходящие в отрицательную область, "выгибаются" вверх, превращаясь в "холмы". Например, участок графика на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, где $\cos x$ отрицателен, отразится вверх.

В результате получается новый периодический график. Его основные свойства:

• Область значений: $y \in [0, 1]$.
• Период: исходный период $2\pi$ уменьшается вдвое, новый период равен $\pi$.
• Максимумы функции равны 1 и достигаются в точках $x = \pi k$, где $k$ - целое число.
• Минимумы функции равны 0 и достигаются в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число.

Ответ: График функции $y=|\cos x|$ получается из графика $y=\cos x$ путем симметричного отражения всех частей графика, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. В результате получается периодическая "волнистая" линия, не опускающаяся ниже оси Ox, с периодом $\pi$ и диапазоном значений $[0, 1]$.

2) Для построения графика функции $y = 3 - 2\cos(x - 1)$ выполним последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \cos x$:

1. $y = \cos x$ (базовый график): Стандартная косинусоида.
2. $y = \cos(x - 1)$ (сдвиг по оси Ox): График $y = \cos x$ сдвигается вправо на 1 единицу. Теперь максимум функции достигается не в точке $x=0$, а в точке $x=1$.
3. $y = 2\cos(x - 1)$ (растяжение по оси Oy): Амплитуда колебаний увеличивается в 2 раза. График растягивается от оси Ox в 2 раза. Диапазон значений становится $[-2, 2]$.
4. $y = -2\cos(x - 1)$ (отражение относительно оси Ox): Знак "минус" перед функцией отражает график симметрично относительно оси Ox. Максимумы становятся минимумами, и наоборот. Теперь в точке $x=1$ будет не максимум, а минимум, равный -2.
5. $y = 3 - 2\cos(x - 1)$ (сдвиг по оси Oy): График, полученный на предыдущем шаге, сдвигается вверх на 3 единицы.

Итоговые свойства графика:

• Период функции не изменился и равен $2\pi$.
• Диапазон значений: исходный диапазон $[-2, 2]$ для функции $y=-2\cos(x-1)$ смещается на +3 и становится $[-2+3, 2+3]$, то есть $[1, 5]$.
• График колеблется вокруг горизонтальной линии $y=3$.
• Минимальные значения, равные 1, достигаются при $\cos(x-1)=1$, то есть при $x-1=2\pi k \implies x = 1 + 2\pi k$.
• Максимальные значения, равные 5, достигаются при $\cos(x-1)=-1$, то есть при $x-1=\pi+2\pi k \implies x = 1 + \pi + 2\pi k$.

Ответ: График функции $y = 3 - 2\cos(x - 1)$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, сдвинутая на 1 вправо, растянутая в 2 раза по вертикали, отраженная относительно оси абсцисс и поднятая на 3 единицы вверх. Колебания происходят в диапазоне от 1 до 5.

3) Рассмотрим функцию $y = \sin x \ctg x$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Функция котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть когда $\sin x = 0$. Это происходит в точках $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Упрощение функции: На всей области определения мы можем упростить выражение: $y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$.
3. Построение графика: График данной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ во всех точках, кроме тех, которые не входят в ОДЗ. В точках $x = \pi k$ на графике будут "выколотые" точки (разрывы).
4. Найдем координаты этих выколотых точек:
   • При $x=0$: $y = \cos(0) = 1$. Точка $(0, 1)$ выколота.
   • При $x=\pi$: $y = \cos(\pi) = -1$. Точка $(\pi, -1)$ выколота.
   • При $x=2\pi$: $y = \cos(2\pi) = 1$. Точка $(2\pi, 1)$ выколота.
   • В общем виде: в точках с абсциссами $x = \pi k$ на графике косинусоиды будут выколоты точки с координатами $(\pi k, \cos(\pi k))$, то есть $(\pi k, (-1)^k)$.

Ответ: Графиком функции $y = \sin x \ctg x$ является график функции $y = \cos x$ с выколотыми точками в местах, где $x = \pi k$ для всех целых $k$. Координаты выколотых точек: $(\pi k, (-1)^k)$.

4) Рассмотрим функцию $y = 2^{\cos x}$. Это сложная функция.

1. Анализ функции: Внешняя функция — показательная $f(u) = 2^u$, внутренняя — тригонометрическая $u(x) = \cos x$.
2. Область определения и область значений:
   • Функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область ее значений: $[-1, 1]$.
   • Поскольку основание показательной функции $2 > 1$, функция $y = 2^u$ является возрастающей. Следовательно, ее наименьшее и наибольшее значения будут достигаться при наименьшем и наибольшем значениях показателя степени $\cos x$.
   • Минимальное значение функции: $y_{min} = 2^{\min(\cos x)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
   • Максимальное значение функции: $y_{max} = 2^{\max(\cos x)} = 2^{1} = 2$.
   • Таким образом, область значений функции $y \in [\frac{1}{2}, 2]$.
3. Периодичность: Так как функция $\cos x$ периодична с периодом $2\pi$, то и вся функция $y = 2^{\cos x}$ будет периодична с тем же периодом $2\pi$.
4. Построение графика: Для построения достаточно рассмотреть один период, например, отрезок $[0, 2\pi]$. Найдем значения в ключевых точках:
   • При $x=0$: $\cos(0) = 1 \implies y = 2^1 = 2$ (максимум).
   • При $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \implies y = 2^0 = 1$.
   • При $x=\pi$: $\cos(\pi) = -1 \implies y = 2^{-1} = 0.5$ (минимум).
   • При $x=\frac{3\pi}{2}$: $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \implies y = 2^0 = 1$.
   • При $x=2\pi$: $\cos(2\pi) = 1 \implies y = 2^1 = 2$ (снова максимум).

График представляет собой гладкую периодическую кривую, которая колеблется между $y=0.5$ и $y=2$. В отличие от синусоиды, "холмы" этого графика более острые, а "впадины" — более пологие. Функция является четной, так как $\cos(-x) = \cos(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = 2^{\cos x}$ — это периодическая кривая с периодом $2\pi$, которая колеблется в диапазоне от $\frac{1}{2}$ до $2$. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x=2\pi k$, а минимумы, равные 0.5, в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ - целое число.