Номер 53, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 53, страница 26.

Условие.

53. Найти значения функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при:

1) $x = -\frac{\pi}{2}$;2) $x = \frac{3\pi}{4}$;3) $x = -\frac{10\pi}{3}$;4) $x = -\frac{19\pi}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдем значение функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при $x = -\frac{\pi}{2}$.
Подставляем значение $x$ в функцию:$y = \frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{2})}$.
Сначала найдем значение $\sin(-\frac{\pi}{2})$. Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$.
Поэтому, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Известно, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Теперь возведем это значение в квадрат:$\sin^2(-\frac{\pi}{2}) = (-1)^2 = 1$.
Подставляем полученное значение в исходное выражение для $y$:$y = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: 1.

2) Найдем значение функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при $x = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем значение $x$ в функцию:$y = \frac{1}{\sin^2(\frac{3\pi}{4})}$.
Найдем значение $\sin(\frac{3\pi}{4})$. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь возводим это значение в квадрат:$\sin^2(\frac{3\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем полученное значение в выражение для $y$:$y = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Ответ: 2.

3) Найдем значение функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при $x = -\frac{10\pi}{3}$.
Подставляем значение $x$ в функцию:$y = \frac{1}{\sin^2(-\frac{10\pi}{3})}$.
Функция $y = \sin^2(x)$ является четной, так как $\sin^2(-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.
Поэтому $\sin^2(-\frac{10\pi}{3}) = \sin^2(\frac{10\pi}{3})$.
Также функция $\sin^2(x)$ является периодической с периодом $\pi$. Используем это свойство для упрощения аргумента.
Представим $\frac{10\pi}{3}$ в виде $k\pi + \alpha$, где $k$ - целое число:$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\sin^2(\frac{10\pi}{3}) = \sin^2(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin^2(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Возводим в квадрат:$\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
Подставляем полученное значение в выражение для $y$:$y = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

4) Найдем значение функции $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ при $x = -\frac{19\pi}{4}$.
Подставляем значение $x$ в функцию:$y = \frac{1}{\sin^2(-\frac{19\pi}{4})}$.
Так как функция $\sin^2(x)$ четная, $\sin^2(-\frac{19\pi}{4}) = \sin^2(\frac{19\pi}{4})$.
Используем периодичность функции $\sin^2(x)$ с периодом $\pi$. Выделим целое число периодов в аргументе.
$\frac{19\pi}{4} = \frac{16\pi + 3\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, $\sin^2(\frac{19\pi}{4}) = \sin^2(4\pi + \frac{3\pi}{4}) = \sin^2(\frac{3\pi}{4})$.
Значение $\sin^2(\frac{3\pi}{4})$ было найдено в пункте 2): $\sin^2(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
Подставляем это значение в выражение для $y$:$y = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Ответ: 2.