Номер 58, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 58, страница 27.
№58 (с. 27)
Условие. №58 (с. 27)
скриншот условия

58. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:
1) $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
2) $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
3) $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
4) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решение 1. №58 (с. 27)




Решение 2. №58 (с. 27)

Решение 3. №58 (с. 27)
1) Требуется найти корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Общая формула для корней уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, общее решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Для отбора корней на заданном отрезке удобнее представить решение в виде двух серий:
Первая серия (соответствует углам в I четверти): $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия (соответствует углам во II четверти): $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь произведем отбор корней для каждой серии, перебирая целые значения $k$.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$, так как $\frac{7\pi}{3} < 3\pi$.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$. Корень не входит в отрезок, так как $\frac{13\pi}{3} > 3\pi$.
Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$, так как $\frac{8\pi}{3} < 3\pi$.
При $k=2$, $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$. Корень не входит в отрезок, так как $\frac{14\pi}{3} > 3\pi$.
Отрицательные значения $k$ дадут отрицательные корни, которые не входят в заданный отрезок.
Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.
2) Требуется найти корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Представим решение в виде двух серий:
$x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.
Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку, так как $\frac{9\pi}{4} < 3\pi$.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку, так как $\frac{11\pi}{4} < 3\pi$.
При $k=2$, $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.
3) Требуется найти корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Представим решение в виде двух серий:
$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ (соответствует углам в IV четверти).
$x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$ (соответствует углам в III четверти).
Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.
Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку (отрицательный).
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{15\pi}{4} > 3\pi$.
Для серии $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{13\pi}{4} > 3\pi$.
Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
4) Требуется найти корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Представим решение в виде двух серий:
$x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ (углы в IV четверти).
$x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ (углы в III четверти).
Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.
Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{11\pi}{3} > 3\pi$.
Для серии $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{4\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{10\pi}{3} > 3\pi$.
Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 58 расположенного на странице 27 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №58 (с. 27), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.