Номер 58, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 58, страница 27.

Условие.

58. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:

1) $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Требуется найти корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Общая формула для корней уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, общее решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Для отбора корней на заданном отрезке удобнее представить решение в виде двух серий:

Первая серия (соответствует углам в I четверти): $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия (соответствует углам во II четверти): $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь произведем отбор корней для каждой серии, перебирая целые значения $k$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$, так как $\frac{7\pi}{3} < 3\pi$.

При $k=2$, $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$. Корень не входит в отрезок, так как $\frac{13\pi}{3} > 3\pi$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$.

При $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень входит в отрезок $[0; 3\pi]$, так как $\frac{8\pi}{3} < 3\pi$.

При $k=2$, $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$. Корень не входит в отрезок, так как $\frac{14\pi}{3} > 3\pi$.

Отрицательные значения $k$ дадут отрицательные корни, которые не входят в заданный отрезок.

Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

2) Требуется найти корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Представим решение в виде двух серий:

$x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.

Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку, так как $\frac{9\pi}{4} < 3\pi$.

При $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.

Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку, так как $\frac{11\pi}{4} < 3\pi$.

При $k=2$, $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.

Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

3) Требуется найти корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Представим решение в виде двух серий:

$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ (соответствует углам в IV четверти).

$x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$ (соответствует углам в III четверти).

Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку (отрицательный).

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{15\pi}{4} > 3\pi$.

Для серии $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{13\pi}{4} > 3\pi$.

Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

4) Требуется найти корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Представим решение в виде двух серий:

$x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ (углы в IV четверти).

$x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ (углы в III четверти).

Выполним отбор корней для каждой серии на отрезке $[0; 3\pi]$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{11\pi}{3} > 3\pi$.

Для серии $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{4\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку.

При $k=1$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{10\pi}{3} > 3\pi$.

Собрав все найденные корни, получаем: $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.