Номер 65, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 65, страница 28.

Условие.

65. Найти множество значений функции $y = \sin x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $[\frac{\pi}{6}; \pi]$

2) $[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Требуется найти множество значений функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in [\frac{\pi}{6}; \pi]$.
Для анализа поведения функции рассмотрим её на единичной окружности или на графике. Промежуток $[\frac{\pi}{6}; \pi]$ соответствует дуге, начинающейся в первой четверти и заканчивающейся на границе второй и третьей четвертей.

1. Сначала найдём значения функции на концах заданного промежутка:
$y(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
$y(\pi) = \sin(\pi) = 0$

2. Теперь проверим, есть ли на данном промежутке точки экстремума (максимума или минимума) функции $\sin x$. Функция $\sin x$ достигает своего максимального значения, равного 1, в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит нашему промежутку $[\frac{\pi}{6}; \pi]$.

На промежутке от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{2}$ функция $\sin x$ возрастает от $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
На промежутке от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ функция $\sin x$ убывает от $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ до $\sin(\pi) = 0$.

Таким образом, наименьшее значение функции на всем промежутке $[\frac{\pi}{6}; \pi]$ равно $0$, а наибольшее значение равно $1$. Поскольку функция $\sin x$ непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.
Следовательно, множество значений функции на данном промежутке — это отрезок $[0; 1]$.

Ответ: $[0; 1]$.

2)

Требуется найти множество значений функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in [\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$.
Данный промежуток соответствует дуге, которая начинается во второй четверти (угол $\frac{3\pi}{4}$) и заканчивается в третьей четверти (угол $\frac{5\pi}{4}$), проходя через точку $\pi$.

Проанализируем поведение функции на этом промежутке. Производная функции $y = \sin x$ есть $y' = \cos x$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, который полностью содержит наш промежуток $[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$, значение $\cos x$ отрицательно. Это означает, что функция $\sin x$ на всём заданном промежутке монотонно убывает.

Если функция непрерывна и монотонна на отрезке, то её множество значений — это отрезок, концами которого являются значения функции на концах исходного отрезка.
Вычислим значения функции на концах промежутка:

Максимальное значение будет в начале промежутка (так как функция убывает):
$y(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Минимальное значение будет в конце промежутка:
$y(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, когда $x$ изменяется от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$, значение $y = \sin x$ изменяется от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Множество значений функции на данном промежутке — это отрезок $[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$.