Номер 70, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 70, страница 28.

Условие.

70. Построить график и выяснить свойства функции:

1) $y = 1 - \sin x;$

2) $y = 2 + \sin x;$

3) $y = \sin 3x;$

4) $y = 2\sin x;$

5) $y = 3\sin \frac{x}{2};$

6) $y = 2 - \sin 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 1 - \sin x$

График функции $y = 1 - \sin x$ можно построить из графика функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

1. Построить график функции $y = \sin x$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график функции $y = -\sin x$.
3. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 \le -\sin x \le 1$, и $1-1 \le 1-\sin x \le 1+1$. Следовательно, $E(y) = [0; 2]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = 2\pi$.
• Четность: $y(-x) = 1 - \sin(-x) = 1 + \sin x$. Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: $y=0$ при $1-\sin x = 0$, то есть $\sin x = 1$. Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства: так как $E(y) = [0; 2]$, функция неотрицательна на всей области определения, то есть $y \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
• Промежутки монотонности:
  • возрастает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
  • убывает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 2$ при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  • $y_{min} = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду, отраженную относительно оси Ox и сдвинутую на 1 вверх. Область значений $[0, 2]$, период $2\pi$, нули в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

---

2) $y = 2 + \sin x$

График функции $y = 2 + \sin x$ можно построить из графика функции $y = \sin x$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $2-1 \le 2+\sin x \le 2+1$. Следовательно, $E(y) = [1; 3]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = 2\pi$.
• Четность: $y(-x) = 2 + \sin(-x) = 2 - \sin x$. Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: $y=0$ при $2+\sin x = 0$, то есть $\sin x = -2$. Уравнение не имеет решений, нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: так как $E(y) = [1; 3]$, функция положительна на всей области определения, то есть $y > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
• Промежутки монотонности:
  • возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
  • убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 3$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  • $y_{min} = 1$ при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду, сдвинутую на 2 вверх. Область значений $[1, 3]$, период $2\pi$, нулей нет.

---

3) $y = \sin 3x$

График функции $y = \sin 3x$ можно построить из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия к оси Oy в 3 раза.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = \frac{2\pi}{3}$.
• Четность: $y(-x) = \sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x) = -y(x)$. Функция является нечетной.
• Нули функции: $y=0$ при $\sin 3x = 0$, то есть $3x = \pi n$. Отсюда $x = \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ на интервалах $(\frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}$.
  • $y < 0$ на интервалах $(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}], n \in \mathbb{Z}$.
  • убывает на отрезках $[\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}], n \in \mathbb{Z}$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 1$ при $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
  • $y_{min} = -1$ при $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду, сжатую в 3 раза вдоль оси Ox. Область значений $[-1, 1]$, период $T = \frac{2\pi}{3}$, нули в точках $x = \frac{\pi n}{3}$.

---

4) $y = 2\sin x$

График функции $y = 2\sin x$ можно построить из графика функции $y = \sin x$ путем растяжения от оси Ox в 2 раза (увеличение амплитуды).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-2 \le 2\sin x \le 2$. Следовательно, $E(y) = [-2; 2]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = 2\pi$.
• Четность: $y(-x) = 2\sin(-x) = -2\sin x = -y(x)$. Функция является нечетной.
• Нули функции: $y=0$ при $2\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Отсюда $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ на интервалах $(2\pi n; \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
  • $y < 0$ на интервалах $(\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
  • убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 2$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  • $y_{min} = -2$ при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду, растянутую в 2 раза вдоль оси Oy. Область значений $[-2, 2]$, период $2\pi$, нули в точках $x = \pi n$.

---

5) $y = 3\sin\frac{x}{2}$

График функции $y = 3\sin\frac{x}{2}$ можно построить из графика функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

1. Построить график функции $y = \sin x$.
2. Растянуть его от оси Oy в 2 раза (увеличение периода), чтобы получить график $y = \sin\frac{x}{2}$.
3. Растянуть полученный график от оси Ox в 3 раза (увеличение амплитуды).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \sin\frac{x}{2} \le 1$, то $-3 \le 3\sin\frac{x}{2} \le 3$. Следовательно, $E(y) = [-3; 3]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
• Четность: $y(-x) = 3\sin(\frac{-x}{2}) = -3\sin\frac{x}{2} = -y(x)$. Функция является нечетной.
• Нули функции: $y=0$ при $3\sin\frac{x}{2} = 0$, то есть $\sin\frac{x}{2} = 0$. Тогда $\frac{x}{2} = \pi n$, откуда $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ на интервалах $(4\pi n; 2\pi + 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
  • $y < 0$ на интервалах $(2\pi + 4\pi n; 4\pi + 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • возрастает на отрезках $[-\pi + 4\pi n; \pi + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
  • убывает на отрезках $[\pi + 4\pi n; 3\pi + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 3$ при $x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  • $y_{min} = -3$ при $x = 3\pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции - синусоида с периодом $4\pi$ и амплитудой 3. Область значений $[-3, 3]$, нули в точках $x = 2\pi n$.

---

6) $y = 2 - \sin 2x$

График функции $y = 2 - \sin 2x$ можно построить из графика функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

1. Построить график функции $y = \sin x$.
2. Сжать его к оси Oy в 2 раза, чтобы получить график $y = \sin 2x$.
3. Отобразить полученный график симметрично относительно оси Ox, чтобы получить $y = -\sin 2x$.
4. Сдвинуть последний график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \sin 2x \le 1$, то $-1 \le -\sin 2x \le 1$, и $2-1 \le 2-\sin 2x \le 2+1$. Следовательно, $E(y) = [1; 3]$.
• Периодичность: функция периодическая, основной период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Четность: $y(-x) = 2 - \sin(2(-x)) = 2 - \sin(-2x) = 2 + \sin 2x$. Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: $y=0$ при $2 - \sin 2x = 0$, то есть $\sin 2x = 2$. Уравнение не имеет решений, нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: так как $E(y) = [1; 3]$, функция положительна на всей области определения, то есть $y > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
• Промежутки монотонности:
  • возрастает на отрезках $[\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.
  • убывает на отрезках $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.
• Точки экстремума:
  • $y_{max} = 3$ при $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  • $y_{min} = 1$ при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции - синусоида с периодом $\pi$, отраженная относительно оси Ox и сдвинутая на 2 вверх. Область значений $[1, 3]$, нулей нет.