Номер 73, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 73, страница 28.

Условие.

73. Решить неравенство:

1) $\sin^2 x > \frac{1}{4}$;

2) $3\sin x - 2\cos^2 x < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Решим неравенство $\sin^2 x > \frac{1}{4}$.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Подставим ее в исходное неравенство:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} > \frac{1}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(1 - \cos(2x)) > 1$

$2 - 2\cos(2x) > 1$

$1 > 2\cos(2x)$

$\cos(2x) < \frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной $y = 2x$. Неравенство примет вид $\cos y < \frac{1}{2}$.

Найдем на тригонометрической окружности точки, для которых абсцисса (косинус) меньше $\frac{1}{2}$. Сначала найдем углы, для которых $\cos y = \frac{1}{2}$. Это $y = \frac{\pi}{3}$ и $y = -\frac{\pi}{3}$.

Неравенству $\cos y < \frac{1}{2}$ удовлетворяют углы, лежащие на дуге от $\frac{\pi}{3}$ до $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

С учетом периодичности функции косинуса, общее решение для $y$ имеет вид:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < y < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $y = 2x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $3\sin x - 2\cos^2 x < 0$.

Чтобы привести неравенство к одной тригонометрической функции, используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$3\sin x - 2(1 - \sin^2 x) < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3\sin x - 2 + 2\sin^2 x < 0$

$2\sin^2 x + 3\sin x - 2 < 0$

Сделаем замену $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \le t \le 1$. Неравенство принимает вид квадратного:

$2t^2 + 3t - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.

$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Парабола $y=2t^2+3t-2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2t^2+3t-2 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-2 < t < \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену $t=\sin x$ и учтем ограничение $-1 \le \sin x \le 1$:

$\begin{cases} -2 < \sin x < \frac{1}{2} \\ -1 \le \sin x \le 1 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает неравенство $-1 \le \sin x < \frac{1}{2}$. Так как $\sin x \ge -1$ верно для всех $x$, остается решить неравенство $\sin x < \frac{1}{2}$.

Найдем на тригонометрической окружности точки, для которых ордината (синус) меньше $\frac{1}{2}$. Граничными точками являются углы, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$, то есть $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Неравенству $\sin x < \frac{1}{2}$ соответствуют углы на дуге от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота.

С учетом периодичности, решение можно записать в виде:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, что равносильно $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Этот же интервал можно записать в другой, эквивалентной форме: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.