Номер 76, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 76, страница 35.

Условие.

76. Найти значение функции при заданном значении аргумента:

1) $y = \operatorname{tg} x, x = \frac{3\pi}{4};$

2) $y = \operatorname{tg} 3x, x = \frac{2\pi}{3};$

3) $y = \operatorname{ctg} x, x = \frac{5\pi}{6};$

4) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}, x = \frac{\pi}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = \operatorname{tg} x$ и значение аргумента $x = \frac{3\pi}{4}$.
Чтобы найти значение функции, подставим значение $x$ в ее уравнение:
$y = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$
Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти. Можно использовать формулу приведения $\operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.
Представим $\frac{3\pi}{4}$ как $\pi - \frac{\pi}{4}$:
$y = \operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Поскольку значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1, получаем:
$y = -1$
Ответ: -1

2) Дана функция $y = \operatorname{tg} 3x$ и значение аргумента $x = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим значение $x$ в уравнение функции:
$y = \operatorname{tg}\left(3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}(2\pi)$
Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(2\pi) = \operatorname{tg}(0 + 2\pi) = \operatorname{tg}(0)$.
Значение тангенса для угла 0 радиан равно 0.
$y = 0$
Ответ: 0

3) Дана функция $y = \operatorname{ctg} x$ и значение аргумента $x = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим значение $x$ в уравнение функции:
$y = \operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{6}\right)$
Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.
Представим $\frac{5\pi}{6}$ как $\pi - \frac{\pi}{6}$:
$y = \operatorname{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$
Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\sqrt{3}$.
$y = -\sqrt{3}$
Ответ: $-\sqrt{3}$

4) Дана функция $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ и значение аргумента $x = \frac{\pi}{2}$.
Подставим значение $x$ в уравнение функции:
$y = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi/2}{2}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1.
$y = 1$
Ответ: 1