Номер 82, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 82, страница 35.

Условие.

82. Построив график функции $y = f(x)$, найти: а) область определения; б) множество значений; в) промежутки возрастания:

1) $f(x) = \begin{cases} \text{tg } x, \text{ если } \pi \le x < \frac{3\pi}{2}, \\ \text{sin } x, \text{ если } -\pi \le x < \pi; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} \text{ctg } x, \text{ если } -\pi < x < -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \le x < 2\pi, \\ \text{cos } x, \text{ если } -\frac{\pi}{2} \le x < \frac{3\pi}{2}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Рассмотрим кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} \tg x, & \text{если } \pi \le x < \frac{3\pi}{2} \\ \sin x, & \text{если } -\pi \le x < \pi \end{cases}$.

Для построения графика функции $y = f(x)$ необходимо рассмотреть два участка. На промежутке $[-\pi, \pi)$ график совпадает с графиком функции $y = \sin x$. Он начинается в точке $(-\pi, 0)$ (точка включена), проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и заканчивается в точке $(\pi, 0)$ (которая выколота, так как неравенство строгое). На промежутке $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ график совпадает с графиком функции $y = \tg x$. Он начинается в точке $(\pi, 0)$ (точка включена, "закрывая" выколотую точку с предыдущего участка) и устремляется к $+\infty$ при приближении $x$ к $\frac{3\pi}{2}$. Прямая $x = \frac{3\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой.

а) область определения
Область определения функции $D(f)$ является объединением промежутков, на которых она задана: $D(f) = [-\pi, \pi) \cup [\pi, \frac{3\pi}{2})$. Так как точка $x=\pi$ принадлежит второму промежутку, то эти два промежутка образуют один сплошной.
Ответ: $D(f) = [-\pi, \frac{3\pi}{2})$.

б) множество значений
Найдем множество значений $E(f)$ для каждой части функции. На промежутке $[-\pi, \pi)$ функция $f(x) = \sin x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$. На промежутке $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ функция $f(x) = \tg x$. При $x=\pi$ значение функции равно $\tg(\pi)=0$. При $x \to \frac{3\pi}{2}^-$, значение $\tg x \to +\infty$. Так как тангенс непрерывен и возрастает на этом интервале, он принимает все значения из промежутка $[0, +\infty)$. Общее множество значений функции есть объединение множеств значений на этих участках: $E(f) = [-1, 1] \cup [0, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) промежутки возрастания
Проанализируем монотонность функции на каждом участке. Функция $y = \sin x$ на промежутке $[-\pi, \pi)$ возрастает на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Функция $y = \tg x$ возрастает на всей своей области определения, следовательно, она возрастает и на промежутке $[\pi, \frac{3\pi}{2})$. Таким образом, функция $f(x)$ возрастает на двух промежутках.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2})$.

---

2)

Рассмотрим кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} \ctg x, & \text{если } x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \\ \cos x, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \end{cases}$.

График данной функции состоит из трех частей:
1. На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ это ветвь графика $y = \ctg x$. При $x \to -\pi^+$, $y \to +\infty$. При $x \to -\frac{\pi}{2}^-$, $y \to 0$.
2. На полуинтервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ это часть графика $y = \cos x$. График проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(0, 1)$, $(\pi, -1)$ и стремится к $(\frac{3\pi}{2}, 0)$.
3. На полуинтервале $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ это снова ветвь графика $y = \ctg x$. Начинается в точке $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ и уходит к $-\infty$ при $x \to 2\pi^-$.
Функция непрерывна в точках "склейки" $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, так как $\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^-} \ctg x = 0 = \cos(-\frac{\pi}{2})$ и $\lim_{x\to\frac{3\pi}{2}^-} \cos x = 0 = \ctg(\frac{3\pi}{2})$.

а) область определения
Область определения $D(f)$ является объединением промежутков: $D(f) = (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$. Объединив эти промежутки, получаем один интервал.
Ответ: $D(f) = (-\pi, 2\pi)$.

б) множество значений
Найдем множество значений $E(f)$ для каждой части функции. На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ функция $f(x) = \ctg x$ убывает от $+\infty$ до $0$. Множество значений здесь: $(0, +\infty)$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ функция $f(x) = \cos x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$. На промежутке $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ функция $f(x) = \ctg x$ убывает от $0$ до $-\infty$. Множество значений здесь: $(-\infty, 0]$. Общее множество значений есть объединение этих множеств: $E(f) = (0, +\infty) \cup [-1, 1] \cup (-\infty, 0]$.
Ответ: $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

в) промежутки возрастания
Функция $y = \ctg x$ является убывающей на каждом интервале своей области определения, поэтому на промежутках $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ данная функция $f(x)$ убывает. Промежутки возрастания нужно искать на участке, где $f(x) = \cos x$, то есть на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Известно, что функция $y = \cos x$ возрастает на отрезках вида $[-\pi + 2\pi k, 2\pi k]$. В нашем случае, на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ косинус возрастает на двух участках:
1. От $x=-\frac{\pi}{2}$ до $x=0$.
2. От $x=\pi$ до $x=\frac{3\pi}{2}$. Учитывая непрерывность функции в точках смены формул и характер монотонности в них (в $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\pi$ - минимумы, в $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$ - максимумы), мы можем включить концы отрезков.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$.