Номер 80, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 80, страница 35.

Условие.

80. Найти все принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$ корни уравнения:

1) $ctg x = 1$;

2) $tg x = \sqrt{3}$;

3) $ctg x = -\sqrt{3}$;

4) $tg x = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи найдем общее решение каждого тригонометрического уравнения, а затем отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $(-\pi; 2\pi)$, путем подбора целочисленных значений $n$.

1) ctg x = 1

Общее решение уравнения $\text{ctg } x = 1$ имеет вид:
$x = \text{arcctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Теперь найдем все корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\pi < \frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi$
Разделим все части на $\pi$:
$-1 < \frac{1}{4} + n < 2$
Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:
$-1 - \frac{1}{4} < n < 2 - \frac{1}{4}$
$-\frac{5}{4} < n < \frac{7}{4}$
$-1.25 < n < 1.75$
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$
При $n = 0: x = \frac{\pi}{4}$
При $n = 1: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
Все три корня принадлежат промежутку $(-\pi; 2\pi)$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

2) tg x = √3

Общее решение уравнения $\text{tg } x = \sqrt{3}$ имеет вид:
$x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$
Решим двойное неравенство для отбора корней:
$-\pi < \frac{\pi}{3} + \pi n < 2\pi$
$-1 < \frac{1}{3} + n < 2$
$-1 - \frac{1}{3} < n < 2 - \frac{1}{3}$
$-\frac{4}{3} < n < \frac{5}{3}$
$-1.33... < n < 1.66...$
Целочисленные значения $n$: $n = -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n = -1: x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$
При $n = 0: x = \frac{\pi}{3}$
При $n = 1: x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.

3) ctg x = -√3

Общее решение уравнения $\text{ctg } x = -\sqrt{3}$ имеет вид:
$x = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
Решим двойное неравенство для отбора корней:
$-\pi < \frac{5\pi}{6} + \pi n < 2\pi$
$-1 < \frac{5}{6} + n < 2$
$-1 - \frac{5}{6} < n < 2 - \frac{5}{6}$
$-\frac{11}{6} < n < \frac{7}{6}$
$-1.83... < n < 1.16...$
Целочисленные значения $n$: $n = -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n = -1: x = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$
При $n = 0: x = \frac{5\pi}{6}$
При $n = 1: x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6}$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

4) tg x = -1

Общее решение уравнения $\text{tg } x = -1$ имеет вид:
$x = \text{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
Решим двойное неравенство для отбора корней:
$-\pi < -\frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi$
$-1 < -\frac{1}{4} + n < 2$
$-1 + \frac{1}{4} < n < 2 + \frac{1}{4}$
$-\frac{3}{4} < n < \frac{9}{4}$
$-0.75 < n < 2.25$
Целочисленные значения $n$: $n = 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n = 0: x = -\frac{\pi}{4}$
При $n = 1: x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$
При $n = 2: x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.