Номер 83, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 83, страница 35.

Условие.

83. Решить неравенство:

1) $\text{ctg} x < 1$;

2) $\text{tg} x \ge \sqrt{3}$;

3) $\text{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) $\text{tg} x > -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\operatorname{ctg} x < 1$

Для решения данного тригонометрического неравенства воспользуемся свойствами функции котангенс и тригонометрической окружностью.

1. Область определения и периодичность: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ определена для всех $x$, при которых $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Период функции равен $\pi$. Мы можем решить неравенство на одном из периодов, например, на интервале $(0, \pi)$, а затем обобщить решение.

2. Решение уравнения: Сначала найдем значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = 1$. На интервале $(0, \pi)$ это $x = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

3. Анализ на интервале: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является убывающей на интервале $(0, \pi)$. Это означает, что если значение аргумента $x$ увеличивается, значение функции $\operatorname{ctg} x$ уменьшается. Следовательно, неравенство $\operatorname{ctg} x < 1$ будет выполняться для тех $x$, которые больше, чем $\frac{\pi}{4}$. Учитывая, что мы рассматриваем интервал $(0, \pi)$, решением будет $x \in (\frac{\pi}{4}, \pi)$.

4. Общее решение: В силу периодичности функции котангенс с периодом $\pi$, общее решение неравенства получается путем добавления $\pi n$ к границам найденного интервала: $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n, \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg} x \ge \sqrt{3}$

Рассмотрим решение неравенства $\operatorname{tg} x \ge \sqrt{3}$.

1. Область определения и периодичность: Функция $y = \operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (вертикальные асимптоты). Период функции равен $\pi$. Решим неравенство на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

2. Решение уравнения: Найдем $x$, для которого $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$. Главное значение $x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

3. Анализ на интервале: Функция $y = \operatorname{tg} x$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это значит, что большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции. Следовательно, неравенство $\operatorname{tg} x \ge \sqrt{3}$ будет истинно для $x \ge \frac{\pi}{3}$. При этом $x$ должен оставаться в пределах рассматриваемого интервала, то есть $x < \frac{\pi}{2}$. Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение - это полуинтервал $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

4. Общее решение: Добавим период $\pi n$ к границам полученного интервала, чтобы получить все решения: $\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) $\operatorname{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Решим неравенство $\operatorname{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1. Область определения и периодичность: Аналогично предыдущему пункту, область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, а период равен $\pi$. Решаем на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

2. Решение уравнения: Решим $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Главное значение $x = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

3. Анализ на интервале: Поскольку функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастающая на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, неравенство $\operatorname{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$ будет выполняться при $x \le -\frac{\pi}{6}$. Левой границей для $x$ является асимптота $x = -\frac{\pi}{2}$. Таким образом, на рассматриваемом интервале решение - это полуинтервал $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}]$.

4. Общее решение: Обобщая с учетом периодичности, получаем: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{6} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

4) $\operatorname{tg} x > -1$

Решим неравенство $\operatorname{tg} x > -1$.

1. Область определения и периодичность: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, период $\pi$. Решаем на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

2. Решение уравнения: Найдем решение для $\operatorname{tg} x = -1$. Главное значение $x = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

3. Анализ на интервале: Так как $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, неравенство $\operatorname{tg} x > -1$ выполняется для всех $x > -\frac{\pi}{4}$. Верхней границей для $x$ на этом интервале является асимптота $x = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, решение на данном интервале - это $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

4. Общее решение: Учитывая периодичность, общее решение неравенства: $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.