Номер 90, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 90, страница 36.

Условие.

90. Найти множество значений функции $y = \operatorname{tg} x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}];$

2) $(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2});$

3) $(0; \pi);$

4) $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)Для нахождения множества значений функции $y=\tan x$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ проанализируем поведение функции.
Функция $y=\tan x$ является непрерывной и строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Заданный отрезок $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ полностью принадлежит этому интервалу.
Следовательно, наименьшее значение функция примет в левой точке отрезка, а наибольшее — в правой.
Найдем значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{min} = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
Наибольшее значение: $y_{max} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Так как функция непрерывна на отрезке, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением. Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это отрезок от $y_{min}$ до $y_{max}$.
Ответ: $[-1; \sqrt{3}]$.

2)Рассмотрим промежуток $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$.
На этом интервале функция $y=\tan x$ непрерывна и строго возрастает (этот интервал является частью большего интервала монотонности $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$).
Чтобы найти множество значений, найдем значения функции на границах заданного интервала.
Значение в левой точке (не включая): $y = \tan(\frac{3\pi}{4}) = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Предел в правой точке: точка $x = \frac{3\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой для функции $\tan x$. При приближении $x$ к $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to (\frac{3\pi}{2})^-$), значение функции стремится к плюс бесконечности: $\tan x \to +\infty$.
Поскольку функция строго возрастает на интервале $(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$, ее значения будут лежать в интервале от $\tan(\frac{3\pi}{4})$ до $+\infty$.
Ответ: $(-1; +\infty)$.

3)Рассмотрим промежуток $x \in (0; \pi)$.
Этот промежуток содержит точку разрыва функции $y=\tan x$ при $x=\frac{\pi}{2}$. Поэтому необходимо рассмотреть поведение функции на двух подинтервалах: $(0; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.
На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция $\tan x$ строго возрастает. При $x \to 0^+$, $\tan x \to \tan(0) = 0$. При $x \to (\frac{\pi}{2})^-$, $\tan x \to +\infty$. Множество значений на этом интервале: $(0; +\infty)$.
На интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ функция $\tan x$ также строго возрастает. При $x \to (\frac{\pi}{2})^+$, $\tan x \to -\infty$. При $x \to \pi^-$, $\tan x \to \tan(\pi) = 0$. Множество значений на этом интервале: $(-\infty; 0)$.
Общее множество значений функции на интервале $(0; \pi)$ является объединением множеств значений на этих двух подинтервалах.
$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4)Рассмотрим промежуток $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.
Этот промежуток содержит точку разрыва функции $y=\tan x$ при $x=\frac{\pi}{2}$. Разобьем его на два промежутка, на каждом из которых функция непрерывна: $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$.
На промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ функция $\tan x$ строго возрастает. Значение в левой точке: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. При $x \to (\frac{\pi}{2})^-$, $\tan x \to +\infty$. Множество значений на этом промежутке: $[1; +\infty)$.
На промежутке $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$ функция $\tan x$ также строго возрастает. При $x \to (\frac{\pi}{2})^+$, $\tan x \to -\infty$. Значение в правой точке: $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Множество значений на этом промежутке: $(-\infty; -1]$.
Общее множество значений функции на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$ является объединением множеств значений на этих двух частях.
$E(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.