Номер 95, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Сравнить числа (95–97).

95. 1) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$; 2) $\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)$ и $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$;

3) $\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$; 4) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$ и $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$.

Для сравнения значений функции арксинус, воспользуемся ее свойством монотонности. Функция $y = \arcsin(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\arcsin(x_1) < \arcsin(x_2)$. Таким образом, задача сводится к сравнению аргументов функции арксинус.

1) Сравним $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$.

Для этого сравним аргументы $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{2}{\sqrt{10}}$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты:

$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$

$(\frac{2}{\sqrt{10}})^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$

Так как $\frac{5}{15} < \frac{6}{15}$, то $\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$.

Поскольку исходные числа были положительны, то из $\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$ следует, что $\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{2}{\sqrt{10}}$.

В силу возрастания функции арксинус, получаем:

$\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$.

Ответ: $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$.

2) Сравним $\arcsin(-\frac{2}{3})$ и $\arcsin(-\frac{3}{4})$.

Сравним аргументы $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{4}$.

Сначала сравним их модули: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю 12:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{2}{3} > -\frac{3}{4}$.

В силу возрастания функции арксинус, получаем:

$\arcsin(-\frac{2}{3}) > \arcsin(-\frac{3}{4})$.

Ответ: $\arcsin(-\frac{2}{3}) > \arcsin(-\frac{3}{4})$.

3) Сравним $\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Сравним аргументы $\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{\sqrt{5}}{3}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты:

$(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5}$

$(\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{5}{9}$

Теперь сравним дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{9}$. Приведем их к общему знаменателю 45:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{36}{45}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{25}{45}$

Так как $\frac{36}{45} > \frac{25}{45}$, то $\frac{4}{5} > \frac{5}{9}$.

Поскольку исходные числа были положительны, то из $\frac{4}{5} > \frac{5}{9}$ следует, что $\frac{2}{\sqrt{5}} > \frac{\sqrt{5}}{3}$.

В силу возрастания функции арксинус, получаем:

$\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}} > \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ответ: $\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}} > \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$.

4) Сравним $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3})$ и $\arcsin(-\frac{3}{4})$.

Сравним аргументы $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $-\frac{3}{4}$.

Сначала сравним их модули: $\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты:

$(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9}$

$(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$

Теперь сравним дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{9}{16}$. Приведем их к общему знаменателю 144:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 16}{9 \cdot 16} = \frac{32}{144}$

$\frac{9}{16} = \frac{9 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{81}{144}$

Так как $\frac{32}{144} < \frac{81}{144}$, то $\frac{2}{9} < \frac{9}{16}$.

Поскольку исходные модули были положительны, то из $\frac{2}{9} < \frac{9}{16}$ следует, что $\frac{\sqrt{2}}{3} < \frac{3}{4}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{\sqrt{2}}{3} > -\frac{3}{4}$.

В силу возрастания функции арксинус, получаем:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3}) > \arcsin(-\frac{3}{4})$.

Ответ: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3}) > \arcsin(-\frac{3}{4})$.