Номер 100, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 100, страница 41.

Условие.

100. 1) $ \text{arctg} \frac{1-x}{4} = \frac{\pi}{3}; $ 2) $ \text{arctg} \frac{1+2x}{3} = \frac{\pi}{4}; $

3) $ \text{arctg}(2x+1) = -\frac{\pi}{3}; $ 4) $ \text{arctg}(2-3x) = -\frac{\pi}{4}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $\arctg\frac{1-x}{4} = \frac{\pi}{3}$.
По определению арктангенса, если $\arctg(a) = b$, то $a = \tg(b)$. Применим это свойство к нашему уравнению.
$\frac{1-x}{4} = \tg(\frac{\pi}{3})$
Мы знаем, что значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\sqrt{3}$.
$\frac{1-x}{4} = \sqrt{3}$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 4:
$1 - x = 4\sqrt{3}$
Выразим $x$:
$-x = 4\sqrt{3} - 1$
$x = 1 - 4\sqrt{3}$
Ответ: $x = 1 - 4\sqrt{3}$.

2) Дано уравнение $\arctg\frac{1+2x}{3} = \frac{\pi}{4}$.
Применив тангенс к обеим частям уравнения, получим:
$\frac{1+2x}{3} = \tg(\frac{\pi}{4})$
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1.
$\frac{1+2x}{3} = 1$
Умножим обе части на 3:
$1 + 2x = 3$
Вычтем 1 из обеих частей:
$2x = 2$
Разделим обе части на 2:
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

3) Дано уравнение $\arctg(2x+1) = -\frac{\pi}{3}$.
Возьмем тангенс от обеих частей уравнения:
$2x+1 = \tg(-\frac{\pi}{3})$
Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\tg(-a) = -\tg(a)$. Следовательно, $\tg(-\frac{\pi}{3}) = -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
$2x+1 = -\sqrt{3}$
Вычтем 1 из обеих частей:
$2x = -1 - \sqrt{3}$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $x = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

4) Дано уравнение $\arctg(2-3x) = -\frac{\pi}{4}$.
Применим тангенс к обеим частям уравнения:
$2-3x = \tg(-\frac{\pi}{4})$
Так как тангенс - нечетная функция, $\tg(-\frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.
$2-3x = -1$
Вычтем 2 из обеих частей:
$-3x = -1 - 2$
$-3x = -3$
Разделим обе части на -3:
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.