Номер 98, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 98, страница 41.

Условие.

Решить уравнение (98—100).

98. 1) $\arcsin(2-3x) = \frac{\pi}{6}$;

2) $\arcsin(3-2x) = \frac{\pi}{4}$;

3) $\arcsin \frac{x-2}{4} = -\frac{\pi}{4}$;

4) $\arcsin \frac{x+3}{2} = -\frac{\pi}{3}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $\arcsin(2 - 3x) = \frac{\pi}{6}$.
По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом значение $b$ должно находиться в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
В данном случае $b = \frac{\pi}{6}$, что удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, мы можем переписать уравнение в виде:
$2 - 3x = \sin(\frac{\pi}{6})$
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставляем это значение:
$2 - 3x = \frac{1}{2}$
Теперь решаем это линейное уравнение относительно $x$:
$3x = 2 - \frac{1}{2}$
$3x = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2 \cdot 3}$
$x = \frac{1}{2}$
Область определения функции арксинус требует, чтобы ее аргумент находился в отрезке $[-1, 1]$. Проверим это условие для найденного $x$. Аргумент равен $2 - 3x = 2 - 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$. Поскольку $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$, решение является верным.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Дано уравнение $\arcsin(3 - 2x) = \frac{\pi}{4}$.
Значение $\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому уравнение имеет решение.
Применяя определение арксинуса, получаем:
$3 - 2x = \sin(\frac{\pi}{4})$
Значение синуса $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$3 - 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Выразим $x$:
$2x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$2x = \frac{6 - \sqrt{2}}{2}$
$x = \frac{6 - \sqrt{2}}{4}$
Проверка области определения арксинуса: аргумент $3 - 2x$ должен быть в пределах от -1 до 1. Из нашего решения $3 - 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, это значение входит в отрезок $[-1, 1]$. Решение корректно.
Ответ: $\frac{6 - \sqrt{2}}{4}$.

3) Дано уравнение $\arcsin\frac{x-2}{4} = -\frac{\pi}{4}$.
Значение $-\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что позволяет решить уравнение.
По определению арксинуса:
$\frac{x-2}{4} = \sin(-\frac{\pi}{4})$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значение:
$\frac{x-2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Решаем уравнение для $x$:
$x - 2 = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$x - 2 = -2\sqrt{2}$
$x = 2 - 2\sqrt{2}$
Проверка: аргумент $\frac{x-2}{4}$ равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ находится в отрезке $[-1, 1]$, так что решение верное.
Ответ: $2 - 2\sqrt{2}$.

4) Дано уравнение $\arcsin\frac{x+3}{2} = -\frac{\pi}{3}$.
Значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.
Переходим к синусу по определению арксинуса:
$\frac{x+3}{2} = \sin(-\frac{\pi}{3})$
Вычисляем синус:
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Получаем уравнение:
$\frac{x+3}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Умножаем обе части на 2:
$x + 3 = -\sqrt{3}$
$x = -3 - \sqrt{3}$
Проверка: аргумент $\frac{x+3}{2}$ равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$ находится в отрезке $[-1, 1]$. Решение является верным.
Ответ: $-3 - \sqrt{3}$.