Номер 97, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Обратные тригонометрические функции. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 97, страница 41.
№97 (с. 41)
Условие. №97 (с. 41)
скриншот условия

97. 1) $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3}$ и $\operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$;
2) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ и $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$;
3) $\operatorname{arcctg} \sqrt{5}$ и $\operatorname{arcctg} \sqrt{7}$;
4) $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ и $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{2})$.
Решение 1. №97 (с. 41)




Решение 2. №97 (с. 41)

Решение 3. №97 (с. 41)
Для решения данных задач необходимо знать свойства монотонности обратных тригонометрических функций:
- Функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\operatorname{arctg}(x_1) < \operatorname{arctg}(x_2)$.
- Функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ является убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\operatorname{arcctg}(x_1) > \operatorname{arcctg}(x_2)$.
1) arctg 2√3 и arctg 3√2
Так как функция арктангенс является возрастающей, для сравнения значений функции достаточно сравнить их аргументы: $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.
Для того чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат:
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$
Поскольку $12 < 18$, то и $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.
Так как функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ возрастающая, то из $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$ следует, что $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3} < \operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$.
Ответ: $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3} < \operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$.
2) arctg $(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ и arctg $(-\frac{1}{\sqrt{5}})$
Функция арктангенс является возрастающей, поэтому сравним её аргументы: $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Сначала сравним положительные числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$. Так как $2 < 5$, то $\sqrt{2} < \sqrt{5}$.
При сравнении обратных величин для положительных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.
При умножении на отрицательное число ($-1$) знак неравенства снова меняется: $-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Так как функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ возрастающая, то из $-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$ следует, что $\operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.
Ответ: $\operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.
3) arcctg √5 и arcctg √7
Функция арккотангенс является убывающей. Для сравнения значений функции необходимо сравнить их аргументы: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.
Так как $5 < 7$, то и $\sqrt{5} < \sqrt{7}$.
Поскольку функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ убывающая, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $\sqrt{5} < \sqrt{7}$ следует, что $\operatorname{arcctg} \sqrt{5} > \operatorname{arcctg} \sqrt{7}$.
Ответ: $\operatorname{arcctg} \sqrt{5} > \operatorname{arcctg} \sqrt{7}$.
4) arcctg $(-\frac{2}{\sqrt{3}})$ и arcctg (-√2)
Функция арккотангенс является убывающей. Сравним её аргументы: $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $-\sqrt{2}$.
Сначала сравним положительные числа $\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $\sqrt{2}$. Для этого возведем их в квадрат:
$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$
$(\sqrt{2})^2 = 2$
Поскольку $\frac{4}{3} < 2$, то и $\frac{2}{\sqrt{3}} < \sqrt{2}$.
При умножении на $-1$ знак неравенства меняется: $-\frac{2}{\sqrt{3}} > -\sqrt{2}$.
Так как функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ убывающая, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $-\frac{2}{\sqrt{3}} > -\sqrt{2}$ следует, что $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < \operatorname{arcctg} (-\sqrt{2})$.
Ответ: $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < \operatorname{arcctg} (-\sqrt{2})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 97 расположенного на странице 41 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №97 (с. 41), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.