Номер 97, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 97, страница 41.

Условие.

97. 1) $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3}$ и $\operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$;

2) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ и $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$;

3) $\operatorname{arcctg} \sqrt{5}$ и $\operatorname{arcctg} \sqrt{7}$;

4) $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ и $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{2})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данных задач необходимо знать свойства монотонности обратных тригонометрических функций:

• Функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\operatorname{arctg}(x_1) < \operatorname{arctg}(x_2)$.
• Функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ является убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\operatorname{arcctg}(x_1) > \operatorname{arcctg}(x_2)$.

1) arctg 2√3 и arctg 3√2

Так как функция арктангенс является возрастающей, для сравнения значений функции достаточно сравнить их аргументы: $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.

Для того чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Поскольку $12 < 18$, то и $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

Так как функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ возрастающая, то из $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$ следует, что $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3} < \operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$.

Ответ: $\operatorname{arctg} 2\sqrt{3} < \operatorname{arctg} 3\sqrt{2}$.

2) arctg $(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ и arctg $(-\frac{1}{\sqrt{5}})$

Функция арктангенс является возрастающей, поэтому сравним её аргументы: $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Сначала сравним положительные числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$. Так как $2 < 5$, то $\sqrt{2} < \sqrt{5}$.

При сравнении обратных величин для положительных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.

При умножении на отрицательное число ($-1$) знак неравенства снова меняется: $-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Так как функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ возрастающая, то из $-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$ следует, что $\operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

Ответ: $\operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

3) arcctg √5 и arcctg √7

Функция арккотангенс является убывающей. Для сравнения значений функции необходимо сравнить их аргументы: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.

Так как $5 < 7$, то и $\sqrt{5} < \sqrt{7}$.

Поскольку функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ убывающая, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $\sqrt{5} < \sqrt{7}$ следует, что $\operatorname{arcctg} \sqrt{5} > \operatorname{arcctg} \sqrt{7}$.

Ответ: $\operatorname{arcctg} \sqrt{5} > \operatorname{arcctg} \sqrt{7}$.

4) arcctg $(-\frac{2}{\sqrt{3}})$ и arcctg (-√2)

Функция арккотангенс является убывающей. Сравним её аргументы: $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $-\sqrt{2}$.

Сначала сравним положительные числа $\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $\sqrt{2}$. Для этого возведем их в квадрат:

$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Поскольку $\frac{4}{3} < 2$, то и $\frac{2}{\sqrt{3}} < \sqrt{2}$.

При умножении на $-1$ знак неравенства меняется: $-\frac{2}{\sqrt{3}} > -\sqrt{2}$.

Так как функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ убывающая, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $-\frac{2}{\sqrt{3}} > -\sqrt{2}$ следует, что $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < \operatorname{arcctg} (-\sqrt{2})$.

Ответ: $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < \operatorname{arcctg} (-\sqrt{2})$.