Номер 91, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x - номер 91, страница 36.

Условие.

Построить график функции (91–93).

91. 1) $y = \operatorname{tg}|x|$; 2) $y = |\operatorname{tg}x|$; 3) $y = \operatorname{ctg}x$; 4) $y = \frac{1}{\operatorname{ctg}x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Построить график функции $y=\text{tg}|x|$

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика функции $y = f(x)$:

1. Построить график функции $y=f(x)$ для $x \ge 0$.

2. Удалить часть графика, которая соответствует значениям $x < 0$.

3. Отразить симметрично относительно оси ординат (OY) ту часть графика, которая соответствует $x \ge 0$.

Применим это правило к функции $y=\text{tg}x$.

1. Строим график $y=\text{tg}x$ для $x \ge 0$. Этот график проходит через начало координат, возрастает на интервале $[0, \pi/2)$ и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое неотрицательное число ($n=0, 1, 2, \dots$).

2. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси OY. Так как исходная функция $y=\text{tg}|x|$ является четной ($ \text{tg}|-x| = \text{tg}|x| $), ее график будет симметричен относительно оси OY.

В результате получим график со следующими свойствами:

- Область определения: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0\}$. Таким образом, $x \ne \pm (\frac{\pi}{2} + n\pi)$ для $n = 0, 1, 2, \dots$.

- Вертикальные асимптоты: прямые $x = \pm(\frac{\pi}{2} + n\pi)$ для $n = 0, 1, 2, \dots$.

- Функция является четной, график симметричен относительно оси OY.

- Функция не является периодической.

- В интервале $(-\pi/2, \pi/2)$ график состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0,0)$ и стремящихся к $+\infty$ при приближении $x$ к $\pi/2$ справа и к $-\pi/2$ слева.

Ответ: График функции $y=\text{tg}|x|$ получается из графика $y=\text{tg}x$ путем сохранения части графика при $x \ge 0$ и ее симметричного отражения относительно оси OY. График симметричен относительно оси OY и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pm(\frac{\pi}{2} + n\pi)$, где $n$ — неотрицательное целое число.

2) Построить график функции $y=|\text{tg}x|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ необходимо выполнить следующие преобразования графика функции $y = f(x)$:

1. Части графика $y=f(x)$, которые лежат выше или на оси абсцисс (OX), оставить без изменений.

2. Части графика, которые лежат ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно оси OX.

Применим это правило к функции $y=\text{tg}x$.

1. Строим график $y=\text{tg}x$. Это периодическая функция с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. В интервалах, где $\text{tg}x \ge 0$ (т.е. $x \in [k\pi, k\pi + \pi/2)$), график $y=|\text{tg}x|$ совпадает с графиком $y=\text{tg}x$.

3. В интервалах, где $\text{tg}x < 0$ (т.е. $x \in (k\pi - \pi/2, k\pi)$), график $y=\text{tg}x$ находится под осью OX. Эту часть графика мы отражаем симметрично относительно оси OX. Например, на интервале $(-\pi/2, 0)$ ветвь тангенса, уходящая в $-\infty$, отражается и становится ветвью, уходящей в $+\infty$ при $x \to -\pi/2^+$.

В результате получим график со следующими свойствами:

- Область определения: та же, что и у тангенса, $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

- Область значений: $y \ge 0$.

- Вертикальные асимптоты: прямые $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

- Функция является периодической с периодом $\pi$, так как $|\text{tg}(x+\pi)|=|\text{tg}x|$.

- График состоит из повторяющихся "U-образных" ветвей, каждая из которых касается оси OX в точках $x=k\pi$ и уходит на бесконечность к асимптотам $x = k\pi \pm \pi/2$.

Ответ: График функции $y=|\text{tg}x|$ получается из графика $y=\text{tg}x$ путем отражения всех частей графика, лежащих ниже оси абсцисс, симметрично относительно этой оси. Это периодическая функция с периодом $\pi$, значения которой всегда неотрицательны.

3) Построить график функции $y=\text{ctg}x$

Функция $y=\text{ctg}x$ (котангенс) является одной из основных тригонометрических функций. Её график называется котангенсоидой. Для построения графика przeанализируем свойства функции.

- Определение: $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

- Область определения: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid \sin x \ne 0\}$, то есть $x \ne k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

- Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

- Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T=\pi$.

- Вертикальные асимптоты: прямые $x=k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках знаменатель $\sin x$ обращается в ноль.

- Нули функции: $y=0$ при $\cos x = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

- Монотонность: функция убывает на каждом интервале своей области определения $(k\pi, (k+1)\pi)$.

Для построения графика достаточно построить его на одном периоде, например, на интервале $(0, \pi)$, а затем продолжить периодически. На интервале $(0, \pi)$ график убывает от $+\infty$ (при $x \to 0^+$) до $-\infty$ (при $x \to \pi^-$), пересекая ось OX в точке $x=\pi/2$.

Ответ: График функции $y=\text{ctg}x$ — это котангенсоида. Он состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей. Каждая ветвь расположена между двумя вертикальными асимптотами $x=k\pi$ и $x=(k+1)\pi$, является убывающей и пересекает ось абсцисс в точке $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.

4) Построить график функции $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}x}$. Таким образом, данная функция совпадает с функцией $y=\text{tg}x$ везде, где обе функции определены. Однако их области определения различны.

Найдем область определения функции $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$. Она определена, если:

1. Определен $\text{ctg}x$. Это выполняется при $x \ne k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель не равен нулю, то есть $\text{ctg}x \ne 0$. Это выполняется при $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что область определения $D(y)$ состоит из всех действительных чисел $x$, кроме $x = \frac{n\pi}{2}$ для любого целого $n$.

Теперь рассмотрим область определения функции $y=\text{tg}x$. Она определена при $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сравнивая области определения, видим, что область определения $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$ является более узкой. Из области определения $y=\text{tg}x$ исключены дополнительные точки $x=k\pi$. В этих точках $\text{tg}(k\pi)=0$, но $\text{ctg}(k\pi)$ не определен. Следовательно, в точках $x=k\pi$ функция $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$ не определена.

Таким образом, чтобы построить график функции $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$, нужно:

1. Построить график функции $y=\text{tg}x$ (тангенсоиду).

2. "Выколоть" (удалить) на этом графике точки, абсциссы которых не входят в область определения исходной функции. Это точки, где $\text{ctg}x$ не определен, то есть $x=k\pi$. Значения тангенса в этих точках равны нулю. Значит, мы должны выколоть точки $(k\pi, 0)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$ представляет собой график функции $y=\text{tg}x$ с "выколотыми" точками в местах пересечения с осью абсцисс, то есть в точках с координатами $(k\pi, 0)$ для всех целых чисел $k$.