Номер 96, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 6. Обратные тригонометрические функции. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 96, страница 41.

Условие.

96. 1) arccos $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и arccos $\frac{1}{\sqrt{5}}>;

2) arccos $\left(-\frac{4}{5}\right)$ и arccos $\left(-\frac{1}{3}\right);

3) arccos $\frac{\sqrt{5}}{4}$ и arccos $\frac{\sqrt{7}}{7};

4) arccos $\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ и arccos $\left(-\frac{3}{7}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для сравнения значений арккосинусов используется свойство функции $y = \arccos(x)$. Эта функция является монотонно убывающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $x \in [-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$, и наоборот, если $x_1 > x_2$, то $\arccos(x_1) < \arccos(x_2)$.

1) Сравнить $\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arccos\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Для начала сравним аргументы арккосинусов: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Знак неравенства при этом сохранится.
$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$
$(\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{1}{5}$
Сравним полученные дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Так как у дробей одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $3 < 5$, то $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.
Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Значит, $\arccos\frac{1}{\sqrt{3}} < \arccos\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\arccos\frac{1}{\sqrt{3}} < \arccos\frac{1}{\sqrt{5}}$.

2) Сравнить $\arccos(-\frac{4}{5})$ и $\arccos(-\frac{1}{3})$.

Сравним аргументы: $-\frac{4}{5}$ и $-\frac{1}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $15$:
$-\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{12}{15}$
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{5}{15}$
Сравним числители: $-12 < -5$. Следовательно, $-\frac{12}{15} < -\frac{5}{15}$, а значит $-\frac{4}{5} < -\frac{1}{3}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Значит, $\arccos(-\frac{4}{5}) > \arccos(-\frac{1}{3})$.
Ответ: $\arccos(-\frac{4}{5}) > \arccos(-\frac{1}{3})$.

3) Сравнить $\arccos\frac{\sqrt{5}}{4}$ и $\arccos\frac{\sqrt{7}}{7}$.

Сравним аргументы: $\frac{\sqrt{5}}{4}$ и $\frac{\sqrt{7}}{7}$.
Оба аргумента являются положительными числами. Для удобства сравнения возведем их в квадрат:
$(\frac{\sqrt{5}}{4})^2 = \frac{5}{16}$
$(\frac{\sqrt{7}}{7})^2 = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$
Теперь сравним дроби $\frac{5}{16}$ и $\frac{1}{7}$. Приведем их к общему знаменателю $16 \cdot 7 = 112$:
$\frac{5}{16} = \frac{5 \cdot 7}{16 \cdot 7} = \frac{35}{112}$
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 16}{7 \cdot 16} = \frac{16}{112}$
Поскольку $35 > 16$, то $\frac{35}{112} > \frac{16}{112}$, а значит $\frac{5}{16} > \frac{1}{7}$.
Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{4} > \frac{\sqrt{7}}{7}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Значит, $\arccos\frac{\sqrt{5}}{4} < \arccos\frac{\sqrt{7}}{7}$.
Ответ: $\arccos\frac{\sqrt{5}}{4} < \arccos\frac{\sqrt{7}}{7}$.

4) Сравнить $\arccos(-\frac{2}{\sqrt{5}})$ и $\arccos(-\frac{3}{7})$.

Сравним аргументы: $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $-\frac{3}{7}$.
Оба аргумента отрицательны. Сначала сравним их модули: $\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{3}{7}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5}$
$(\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$
Сравним дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{9}{49}$. Приведем их к общему знаменателю $5 \cdot 49 = 245$:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 49}{5 \cdot 49} = \frac{196}{245}$
$\frac{9}{49} = \frac{9 \cdot 5}{49 \cdot 5} = \frac{45}{245}$
Поскольку $196 > 45$, то $\frac{196}{245} > \frac{45}{245}$, а значит $\frac{4}{5} > \frac{9}{49}$.
Следовательно, $\frac{2}{\sqrt{5}} > \frac{3}{7}$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, то из $\frac{2}{\sqrt{5}} > \frac{3}{7}$ следует, что $-\frac{2}{\sqrt{5}} < -\frac{3}{7}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Значит, $\arccos(-\frac{2}{\sqrt{5}}) > \arccos(-\frac{3}{7})$.
Ответ: $\arccos(-\frac{2}{\sqrt{5}}) > \arccos(-\frac{3}{7})$.