Номер 94, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 94, страница 36.
№94 (с. 36)
Условие. №94 (с. 36)
скриншот условия

94. Решить неравенство:
1) $tg^2 x < 1$;
2) $tg^2 x \ge 3$;
3) $3\sin^2 x + \sin x \cos x > 2$.
Решение 1. №94 (с. 36)



Решение 2. №94 (с. 36)


Решение 3. №94 (с. 36)
1) Решим неравенство $tg^2 x < 1$.
Это неравенство равносильно $(\operatorname{tg} x)^2 < 1$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем неравенство с модулем:
$|\operatorname{tg} x| < 1$.
Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:
$-1 < \operatorname{tg} x < 1$.
Решим это двойное неравенство. Функция $y = \operatorname{tg} x$ является возрастающей на своем интервале определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x = -1$ и $\operatorname{tg} x = 1$.
$\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
$\operatorname{tg} x = -1 \implies x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Таким образом, решение двойного неравенства $-1 < \operatorname{tg} x < 1$ представляет собой интервалы:
$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) Решим неравенство $tg^2 x \geq 3$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$|\operatorname{tg} x| \geq \sqrt{3}$.
Это неравенство распадается на два:
$\operatorname{tg} x \geq \sqrt{3}$ или $\operatorname{tg} x \leq -\sqrt{3}$.
Решим каждое неравенство по отдельности, учитывая область определения тангенса $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Для первого неравенства $\operatorname{tg} x \geq \sqrt{3}$:
Так как $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, а функция тангенса возрастает, решение будет:
$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для второго неравенства $\operatorname{tg} x \leq -\sqrt{3}$:
Так как $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, решение будет:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + \pi n] \cup [\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3) Решим неравенство $3\sin^2 x + \sin x \cos x > 2$.
Используем основное тригонометрическое тождество, представив число 2 как $2 \cdot 1 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
$3\sin^2 x + \sin x \cos x > 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x > 0$
$\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x > 0$
Это однородное тригонометрическое неравенство. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\cos x = 0$.
Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, и $\sin^2 x = 1$. Подставим в неравенство:
$1^2 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 > 0 \implies 1 > 0$.
Это верное утверждение, следовательно, все значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются решениями неравенства.
Случай 2: $\cos x \neq 0$.
Разделим обе части неравенства на $\cos^2 x$. Так как $\cos^2 x > 0$, знак неравенства не изменится.
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} > 0$
$\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 2 > 0$
Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$. Получим квадратное неравенство:
$t^2 + t - 2 > 0$
Найдем корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.
Парабола $y=t^2+t-2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -2$ или $t > 1$.
Возвращаемся к замене:
$\operatorname{tg} x < -2$ или $\operatorname{tg} x > 1$.
Решим каждое из этих простейших неравенств:
$\operatorname{tg} x > 1 \implies \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.
$\operatorname{tg} x < -2 \implies -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$.
Теперь объединим решения из обоих случаев. Решения из случая 1 ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$) являются граничными точками для интервалов, полученных в случае 2. Поскольку эти точки являются решениями, мы можем включить их в ответ, замкнув соответствующие концы интервалов.
Объединение множества $( \frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n )$ и точек $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ дает полуинтервал $( \frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n ]$.
Точки $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$ также входят в множество решений из случая 1. Объединение их с интервалами $( -\frac{\pi}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}(-2) + \pi n )$ дает полуинтервал $[ -\frac{\pi}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}(-2) + \pi n )$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}(-2) + \pi n) \cup (\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 94 расположенного на странице 36 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №94 (с. 36), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.