Номер 101, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 101, страница 41.

Условие.

101. Найти область определения функции:

1) $y = \arcsin \frac{x-3}{2};$

2) $y = \arccos (2 - 3x);$

3) $y = \arccos (2\sqrt{x} - 3);$

4) $y = \arcsin \frac{2x^2 - 5}{3};$

5) $y = \arccos \frac{2 - \sqrt{x}}{3};$

6) $y = \arcsin (3\sqrt{x} - 2);$

7) $y = \arcsin (x^2 - 2);$

8) $y = \arccos (x^2 - x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Область определения функции $y = \arcsin(u)$ задается неравенством $-1 \le u \le 1$. В данном случае аргумент функции $u = \frac{x-3}{2}$.
Для нахождения области определения решим двойное неравенство: $-1 \le \frac{x-3}{2} \le 1$
Умножим все части неравенства на 2: $-2 \le x-3 \le 2$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства: $-2+3 \le x \le 2+3$
$1 \le x \le 5$
Следовательно, область определения функции — это отрезок $[1, 5]$.
Ответ: $x \in [1, 5]$.

2) Область определения функции $y = \arccos(u)$ задается неравенством $-1 \le u \le 1$. В данном случае аргумент функции $u = 2-3x$.
Решим двойное неравенство: $-1 \le 2-3x \le 1$
Вычтем 2 из всех частей неравенства: $-1-2 \le -3x \le 1-2$
$-3 \le -3x \le -1$
Разделим все части на -3, при этом изменив знаки неравенства на противоположные: $\frac{-1}{-3} \le x \le \frac{-3}{-3}$
$\frac{1}{3} \le x \le 1$
Следовательно, область определения функции — это отрезок $[\frac{1}{3}, 1]$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, 1]$.

3) Область определения данной функции определяется двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент функции арккосинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le 2\sqrt{x}-3 \le 1$.
Решим второе условие (двойное неравенство): $-1 \le 2\sqrt{x}-3 \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям: $2 \le 2\sqrt{x} \le 4$
Разделим все части на 2: $1 \le \sqrt{x} \le 2$
Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $1^2 \le x \le 2^2$
$1 \le x \le 4$
Полученный отрезок $[1, 4]$ полностью удовлетворяет первому условию $x \ge 0$.
Ответ: $x \in [1, 4]$.

4) Аргумент функции арксинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le \frac{2x^2-5}{3} \le 1$
Умножим все части на 3: $-3 \le 2x^2-5 \le 3$
Это неравенство эквивалентно системе из двух неравенств: $2x^2-5 \ge -3$ и $2x^2-5 \le 3$.
Решим первое неравенство: $2x^2 \ge -3+5$ $2x^2 \ge 2$ $x^2 \ge 1$, что равносильно $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Решим второе неравенство: $2x^2 \le 3+5$ $2x^2 \le 8$ $x^2 \le 4$, что равносильно $x \in [-2, 2]$.
Найдем пересечение полученных множеств: $((-\infty, -1] \cup [1, \infty)) \cap [-2, 2]$.
Пересечением является объединение отрезков $[-2, -1]$ и $[1, 2]$.
Ответ: $x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$.

5) Область определения определяется двумя условиями:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент арккосинуса должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le \frac{2-\sqrt{x}}{3} \le 1$.
Решим второе условие: $-1 \le \frac{2-\sqrt{x}}{3} \le 1$
Умножим на 3: $-3 \le 2-\sqrt{x} \le 3$
Вычтем 2: $-5 \le -\sqrt{x} \le 1$
Умножим на -1, меняя знаки неравенства: $-1 \le \sqrt{x} \le 5$
Так как по определению $\sqrt{x} \ge 0$, левая часть неравенства $\sqrt{x} \ge -1$ выполняется для всех $x$, для которых корень определен. Остается решить неравенство $\sqrt{x} \le 5$.
Возведем в квадрат обе части: $x \le 25$.
Объединяя с первым условием $x \ge 0$, получаем область определения $0 \le x \le 25$.
Ответ: $x \in [0, 25]$.

6) Область определения определяется двумя условиями:
1. $x \ge 0$.
2. $-1 \le 3\sqrt{x}-2 \le 1$.
Решим второе неравенство: $-1 \le 3\sqrt{x}-2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям: $1 \le 3\sqrt{x} \le 3$
Разделим на 3: $\frac{1}{3} \le \sqrt{x} \le 1$
Возведем в квадрат все части: $(\frac{1}{3})^2 \le x \le 1^2$
$\frac{1}{9} \le x \le 1$
Данный отрезок удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{9}, 1]$.

7) Аргумент функции арксинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le x^2-2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям: $1 \le x^2 \le 3$
Это эквивалентно системе неравенств: $x^2 \ge 1$ и $x^2 \le 3$.
Из $x^2 \ge 1$ следует, что $x \le -1$ или $x \ge 1$, то есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Из $x^2 \le 3$ следует, что $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$, то есть $x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.
Найдем пересечение этих двух множеств: $((-\infty, -1] \cup [1, \infty)) \cap [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.
Пересечением является объединение отрезков $[-\sqrt{3}, -1]$ и $[1, \sqrt{3}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}]$.

8) Аргумент функции арккосинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le x^2-x \le 1$
Это эквивалентно системе из двух неравенств:
1) $x^2-x \ge -1 \implies x^2-x+1 \ge 0$
2) $x^2-x \le 1 \implies x^2-x-1 \le 0$
Рассмотрим первое неравенство: $x^2-x+1 \ge 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), парабола $y = x^2-x+1$ полностью находится выше оси Ox, поэтому неравенство выполняется для любых действительных $x$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Рассмотрим второе неравенство: $x^2-x-1 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2-x-1=0$ через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Так как ветви параболы $y = x^2-x-1$ направлены вверх, неравенство $x^2-x-1 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $\frac{1-\sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Область определения функции является пересечением решений обоих неравенств, что совпадает с решением второго неравенства.
Ответ: $x \in [\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}]$.