Номер 103, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 103, страница 42.

Условие.

103. Построить график функции:

1) $y = \arcsin(2x + 3);$

2) $y = 2\arccos(x - 1);$

3) $y = \mathrm{arcctg}x;$

4) $y = \mathrm{arcctg}(x + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \arcsin(2x + 3)$;

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y_0 = \arcsin t$.

Сначала найдем область определения функции. Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от $-1$ до $1$ включительно:
$-1 \le 2x + 3 \le 1$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 - 3 \le 2x \le 1 - 3$
$-4 \le 2x \le -2$
Разделим все части на 2:
$-2 \le x \le -1$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, -1]$.

Область значений функции $y = \arcsin(2x + 3)$ совпадает с областью значений стандартной функции арксинуса, так как преобразования затрагивают только аргумент.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Построение графика можно выполнить путем следующих последовательных преобразований графика $y = \arcsin x$:
1. Сжатие графика $y = \arcsin x$ по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Получим график функции $y = \arcsin(2x)$.
2. Сдвиг полученного графика влево вдоль оси OX на $1.5$ единицы. Получим искомый график $y = \arcsin(2(x + 1.5)) = \arcsin(2x + 3)$.

Найдем ключевые точки графика:
- Левая граничная точка: при $x = -2$, $y = \arcsin(2(-2) + 3) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(-2, -\frac{\pi}{2})$.
- Правая граничная точка: при $x = -1$, $y = \arcsin(2(-1) + 3) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$. Точка $(-1, \frac{\pi}{2})$.
- Точка пересечения с осью OX (в данном случае, "центр" симметрии на отрезке): при $y = 0$, $\arcsin(2x+3) = 0$, значит $2x+3 = 0$, откуда $x = -1.5$. Точка $(-1.5, 0)$.

Ответ: График функции $y = \arcsin(2x + 3)$ есть часть кривой арксинуса, расположенная на отрезке $x \in [-2, -1]$ с областью значений $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2) $y = 2\arccos(x - 1)$;

Построение этого графика выполним путем преобразования базового графика $y_0 = \arccos t$.

Найдем область определения функции. Аргумент арккосинуса должен лежать в пределах от $-1$ до $1$:
$-1 \le x - 1 \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$0 \le x \le 2$
Область определения функции $D(y) = [0, 2]$.

Теперь найдем область значений. Область значений стандартной функции $y = \arccos t$ есть отрезок $[0, \pi]$. Так как наша функция умножается на 2, то ее область значений будет:
$E(y) = [2 \cdot 0, 2 \cdot \pi] = [0, 2\pi]$.

График строится следующими преобразованиями графика $y = \arccos x$:
1. Сдвиг графика $y = \arccos x$ вправо вдоль оси OX на 1 единицу. Получим график $y = \arccos(x - 1)$.
2. Растяжение полученного графика по вертикали (от оси OX) в 2 раза. Получим искомый график $y = 2\arccos(x - 1)$.

Ключевые точки графика:
- Левая граничная точка: при $x = 0$, $y = 2\arccos(0 - 1) = 2\arccos(-1) = 2\pi$. Точка $(0, 2\pi)$.
- Правая граничная точка: при $x = 2$, $y = 2\arccos(2 - 1) = 2\arccos(1) = 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(2, 0)$.
- "Центральная" точка: при $x = 1$, $y = 2\arccos(1 - 1) = 2\arccos(0) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$. Точка $(1, \pi)$.

Ответ: График функции $y = 2\arccos(x - 1)$ — это график $y = \arccos x$, сдвинутый на 1 единицу вправо и растянутый в 2 раза по вертикали. Область определения: $x \in [0, 2]$. Область значений: $y \in [0, 2\pi]$.

3) $y = \operatorname{arcctg} x$;

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) является стандартной функцией, обратной к функции $x = \operatorname{ctg} y$ на интервале $y \in (0, \pi)$.

Основные свойства и характеристики графика:
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0, \pi)$.
- Функция является убывающей на всей области определения.
- График имеет две горизонтальные асимптоты:

• $y = \pi$ при $x \to -\infty$
• $y = 0$ при $x \to +\infty$

Ключевые точки для построения:
- При $x=0$, $y = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, \frac{\pi}{2})$.
- При $x=1$, $y = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Точка $(1, \frac{\pi}{4})$.
- При $x=-1$, $y = \operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Точка $(-1, \frac{3\pi}{4})$.

График представляет собой плавно убывающую кривую, которая "сверху" ограничена асимптотой $y=\pi$ и "снизу" — асимптотой $y=0$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это стандартная кривая арккотангенса с областью определения $(-\infty, +\infty)$, областью значений $(0, \pi)$ и горизонтальными асимптотами $y=0$ и $y=\pi$.

4) $y = \operatorname{arcctg}(x + 1)$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{arcctg}(x + 1)$ воспользуемся графиком функции $y = \operatorname{arcctg} x$ из предыдущего пункта.

Данная функция получается из $y = \operatorname{arcctg} x$ путем сдвига графика влево вдоль оси OX на 1 единицу.

Основные свойства функции $y = \operatorname{arcctg}(x + 1)$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$ (не изменяется при горизонтальном сдвиге).
- Область значений: $E(y) = (0, \pi)$ (не изменяется при горизонтальном сдвиге).
- Горизонтальные асимптоты остаются прежними: $y = \pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.

Ключевые точки смещаются на 1 влево:
- Точка $(0, \frac{\pi}{2})$ смещается в точку $(-1, \frac{\pi}{2})$. Проверка: $y = \operatorname{arcctg}(-1 + 1) = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$.
- Точка $(1, \frac{\pi}{4})$ смещается в точку $(0, \frac{\pi}{4})$. Проверка: $y = \operatorname{arcctg}(0 + 1) = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
- Точка $(-1, \frac{3\pi}{4})$ смещается в точку $(-2, \frac{3\pi}{4})$. Проверка: $y = \operatorname{arcctg}(-2 + 1) = \operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arcctg}(x + 1)$ получается сдвигом графика $y = \operatorname{arcctg} x$ на 1 единицу влево. Все основные свойства, кроме положения точек, сохраняются.