Номер 110, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 110, страница 42.

Условие.

110. Выяснить, является ли чётной или нечётной функция:

1) $y = x^2 + \cos x;$

2) $y = x^3 - \sin x;$

3) $y = (1 - x^2)\cos x;$

4) $y = (1 + \sin x)\sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^2 + \cos x$

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, нужно проверить выполнение равенств $y(-x) = y(x)$ (для чётной функции) или $y(-x) = -y(x)$ (для нечётной функции). Область определения данной функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = (-x)^2 + \cos(-x)$

Используя свойства степенной функции с чётным показателем $ ((-x)^2 = x^2) $ и чётность функции косинус $ (\cos(-x) = \cos x) $, получаем:

$y(-x) = x^2 + \cos x$

Так как $y(-x) = y(x)$, то функция является чётной.

Альтернативно, можно заметить, что функция $y=x^2$ является чётной и функция $y=\cos x$ также является чётной. Сумма двух чётных функций есть функция чётная.

Ответ: функция чётная.

2) $y = x^3 - \sin x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$

Используя свойства степенной функции с нечётным показателем $ ((-x)^3 = -x^3) $ и нечётность функции синус $ (\sin(-x) = -\sin x) $, получаем:

$y(-x) = -x^3 - (-\sin x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 - \sin x)$

Так как $y(-x) = -y(x)$, то функция является нечётной.

Альтернативно, можно заметить, что функция $y=x^3$ является нечётной и функция $y=\sin x$ также является нечётной. Разность двух нечётных функций есть функция нечётная.

Ответ: функция нечётная.

3) $y = (1 - x^2)\cos x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = (1 - (-x)^2)\cos(-x)$

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$y(-x) = (1 - x^2)\cos x$

Так как $y(-x) = y(x)$, то функция является чётной.

Альтернативно, можно заметить, что множитель $f(x) = 1 - x^2$ является чётной функцией ($f(-x) = 1 - (-x)^2 = 1 - x^2 = f(x)$), и множитель $g(x) = \cos x$ также является чётной функцией. Произведение двух чётных функций есть функция чётная.

Ответ: функция чётная.

4) $y = (1 + \sin x)\sin x$

Раскроем скобки для удобства: $y(x) = \sin x + \sin^2 x$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \sin(-x) + (\sin(-x))^2$

Используя свойство нечётности синуса $ (\sin(-x) = -\sin x) $, получаем:

$y(-x) = -\sin x + (-\sin x)^2 = -\sin x + \sin^2 x$

Теперь сравним полученное выражение с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(x) = \sin x + \sin^2 x$

$-y(x) = -(\sin x + \sin^2 x) = -\sin x - \sin^2 x$

Очевидно, что $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. Для проверки можно подставить конкретное значение, например, $x = \frac{\pi}{2}$:

$y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1^2 = 2$

$y(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) + \sin^2(-\frac{\pi}{2}) = -1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0$

Поскольку $y(-\frac{\pi}{2}) \neq y(\frac{\pi}{2})$ и $y(-\frac{\pi}{2}) \neq -y(\frac{\pi}{2})$, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Альтернативно, функция $y(x)$ представляет собой сумму нечётной функции $(\sin x)$ и чётной функции $(\sin^2 x)$. Сумма не равных тождественно нулю чётной и нечётной функций является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.