Номер 111, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 111, страница 42.

Условие.

111. Доказать, что наименьший положительный период функции $y=f(x)$ равен $T$:

1) $y = \cos 7x$, $T = \frac{2\pi}{7}$;

2) $y = \sin \frac{x}{7}$, $T = 14\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = \cos 7x$. Необходимо доказать, что ее наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{7}$.

Доказательство состоит из двух частей: сначала мы докажем, что $T = \frac{2\pi}{7}$ является периодом функции, а затем докажем, что это наименьший из всех положительных периодов.

Шаг 1: Доказательство, что $T = \frac{2\pi}{7}$ является периодом.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Для функции $f(x) = \cos 7x$ проверим это условие:

$f(x + \frac{2\pi}{7}) = \cos(7(x + \frac{2\pi}{7})) = \cos(7x + 7 \cdot \frac{2\pi}{7}) = \cos(7x + 2\pi)$.

Известно, что функция косинус имеет основной период $2\pi$, то есть $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$.

Следовательно, $\cos(7x + 2\pi) = \cos(7x) = f(x)$.

Равенство $f(x + \frac{2\pi}{7}) = f(x)$ выполняется, значит, $T = \frac{2\pi}{7}$ является периодом функции $y = \cos 7x$.

Шаг 2: Доказательство, что $T = \frac{2\pi}{7}$ является наименьшим положительным периодом.

Предположим от противного, что существует меньший положительный период $T_0$, то есть $0 < T_0 < \frac{2\pi}{7}$.

Если $T_0$ — период, то для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+T_0) = f(x)$, то есть $\cos(7(x+T_0)) = \cos(7x)$.

Это равенство должно быть верным для всех $x$, в том числе и для $x=0$. Подставим $x=0$:

$\cos(7(0+T_0)) = \cos(7 \cdot 0) \implies \cos(7T_0) = \cos(0) \implies \cos(7T_0) = 1$.

Общее решение уравнения $\cos(\alpha) = 1$ имеет вид $\alpha = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

В нашем случае $7T_0 = 2\pi k$, откуда $T_0 = \frac{2\pi k}{7}$.

Поскольку мы ищем положительный период ($T_0 > 0$), то $k$ должно быть положительным целым числом ($k = 1, 2, 3, ...$).

Наименьшее положительное значение $T_0$ получается при наименьшем положительном $k$, то есть при $k=1$.

При $k=1$ получаем $T_0 = \frac{2\pi}{7}$.

Это означает, что наименьший положительный период функции не может быть меньше, чем $\frac{2\pi}{7}$. Мы пришли к противоречию с нашим предположением, что $0 < T_0 < \frac{2\pi}{7}$.

Следовательно, $T = \frac{2\pi}{7}$ — наименьший положительный период.

Ответ: Доказано, что наименьший положительный период функции $y=\cos 7x$ равен $T=\frac{2\pi}{7}$.

2) Дана функция $y = \sin \frac{x}{7}$. Необходимо доказать, что ее наименьший положительный период равен $T = 14\pi$.

Доказательство проведем по той же схеме.

Шаг 1: Доказательство, что $T = 14\pi$ является периодом.

Для функции $f(x) = \sin \frac{x}{7}$ проверим выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$:

$f(x + 14\pi) = \sin(\frac{x+14\pi}{7}) = \sin(\frac{x}{7} + \frac{14\pi}{7}) = \sin(\frac{x}{7} + 2\pi)$.

Функция синус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$.

Следовательно, $\sin(\frac{x}{7} + 2\pi) = \sin(\frac{x}{7}) = f(x)$.

Равенство выполняется, значит, $T = 14\pi$ является периодом функции $y = \sin \frac{x}{7}$.

Шаг 2: Доказательство, что $T = 14\pi$ является наименьшим положительным периодом.

Предположим от противного, что существует меньший положительный период $T_0$, такой что $0 < T_0 < 14\pi$.

Если $T_0$ — период, то для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+T_0) = f(x)$, то есть $\sin(\frac{x+T_0}{7}) = \sin(\frac{x}{7})$.

Это равенство должно быть верным для всех $x$. Выберем такое значение $x$, чтобы $\frac{x}{7} = \frac{\pi}{2}$, то есть $x = \frac{7\pi}{2}$. При этом значении $f(x) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Тогда должно выполняться и равенство $f(x+T_0) = 1$:

$\sin(\frac{\frac{7\pi}{2}+T_0}{7}) = 1 \implies \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{T_0}{7}) = 1$.

Общее решение уравнения $\sin(\alpha) = 1$ имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Таким образом, $\frac{\pi}{2} + \frac{T_0}{7} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычитая $\frac{\pi}{2}$ из обеих частей, получаем $\frac{T_0}{7} = 2\pi k$, откуда $T_0 = 14\pi k$.

Поскольку мы ищем положительный период ($T_0 > 0$), то $k$ должно быть наименьшим положительным целым числом, то есть $k=1$.

При $k=1$ получаем $T_0 = 14\pi$.

Это означает, что наименьший положительный период не может быть меньше $14\pi$. Мы пришли к противоречию с нашим предположением, что $0 < T_0 < 14\pi$.

Следовательно, $T = 14\pi$ — наименьший положительный период.

Ответ: Доказано, что наименьший положительный период функции $y=\sin \frac{x}{7}$ равен $T=14\pi$.