Номер 114, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Упражнения к главе I - номер 114, страница 43.

Условие.

114. Найти множество значений функции $y = f(x)$ на промежутке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$, если:

1) $f(x) = \sin x;$ 2) $f(x) = \cos x;$ 3) $f(x) = \operatorname{tg} x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) f(x) = sin x
Функция $y = \sin x$ является возрастающей на промежутке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$, так как этот промежуток является частью отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором синус возрастает. Следовательно, для нахождения множества значений достаточно вычислить значения функции на концах заданного отрезка.
Наименьшее значение функция принимает в левой границе промежутка:
$f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Наибольшее значение функция принимает в правой границе промежутка:
$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, множество значений функции на данном промежутке — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$

2) f(x) = cos x
На промежутке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \cos x$ не является монотонной. На отрезке $[-\frac{\pi}{6}, 0]$ функция возрастает, а на отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$ — убывает. Это означает, что в точке $x=0$ функция достигает своего максимального значения на данном промежутке.
Максимальное значение: $f(0) = \cos(0) = 1$.
Чтобы найти наименьшее значение, необходимо вычислить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наименьшее.
$f(-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение равно $\frac{1}{2}$.
Таким образом, множество значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[\frac{1}{2}, 1]$

3) f(x) = tg x
Функция $y = \tan x$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Заданный промежуток $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ полностью входит в этот интервал, поэтому на нем функция $\tan x$ также возрастает. Следовательно, наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах этого отрезка.
Наименьшее значение:
$f(-\frac{\pi}{6}) = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Наибольшее значение:
$f(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$
Множество значений функции на данном промежутке — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[-\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}]$