Номер 120, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 120, страница 43.

Условие.

120. Построить график функции:

1) $y = \frac{1}{2} \sin x;$

2) $y = \cos x - \frac{1}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение базового графика $y = \sin x$.
   Это стандартная синусоида. Её основные свойства:
   • Период $T = 2\pi$.
   • Область значений $E(y) = [-1, 1]$.
   • Проходит через начало координат $(0, 0)$.
   • Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$ (максимум), $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ (минимум), $(2\pi, 0)$.
2. Преобразование графика.
   График функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза. Это преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. При таком преобразовании абсцисса ($x$) каждой точки графика остается неизменной, а ордината ($y$) умножается на $\frac{1}{2}$.
3. Анализ и построение итогового графика.
   • Период функции не меняется: $T = 2\pi$.
   • Область значений изменяется: так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 \cdot \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin x \le 1 \cdot \frac{1}{2}$. Таким образом, $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Амплитуда колебаний равна $\frac{1}{2}$.
   • Нули функции (точки пересечения с осью OX) остаются прежними, так как уравнение $\frac{1}{2}\sin x = 0$ эквивалентно $\sin x = 0$. Нули: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   • Ключевые точки для $y = \frac{1}{2}\sin x$:
     • $x=0, y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \implies (0, 0)$
     • $x=\frac{\pi}{2}, y = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \implies (\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2})$ (новый максимум)
     • $x=\pi, y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \implies (\pi, 0)$
     • $x=\frac{3\pi}{2}, y = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2} \implies (\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2})$ (новый минимум)
     • $x=2\pi, y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \implies (2\pi, 0)$
   Для построения графика сначала рисуют (например, пунктиром) синусоиду $y=\sin x$, а затем "сжимают" ее по вертикали, уменьшая все ординаты в два раза.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ — это синусоида, полученная из графика $y=\sin x$ сжатием вдоль оси OY в 2 раза. Амплитуда равна $\frac{1}{2}$, период $2\pi$, область значений $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

2) Для построения графика функции $y = \cos x - \frac{1}{2}$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение базового графика $y = \cos x$.
   Это стандартная косинусоида. Её основные свойства:
   • Период $T = 2\pi$.
   • Область значений $E(y) = [-1, 1]$.
   • Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$ (максимум), $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$ (минимум), $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.
2. Преобразование графика.
   График функции $y = \cos x - \frac{1}{2}$ получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси OY) на $\frac{1}{2}$ единицы вниз. Это преобразование вида $y = f(x) + c$ с константой $c = -\frac{1}{2}$. При таком преобразовании абсцисса ($x$) каждой точки графика остается неизменной, а из ординаты ($y$) вычитается $\frac{1}{2}$.
3. Анализ и построение итогового графика.
   • Период функции не меняется: $T = 2\pi$.
   • Область значений изменяется: так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 - \frac{1}{2} \le \cos x - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}$. Таким образом, $E(y) = [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.
   • Нули функции находятся из уравнения $\cos x - \frac{1}{2} = 0$, то есть $\cos x = \frac{1}{2}$. Решения: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   • Ключевые точки для $y = \cos x - \frac{1}{2}$:
     • $x=0, y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies (0, \frac{1}{2})$ (новый максимум)
     • $x=\frac{\pi}{2}, y = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies (\frac{\pi}{2}, -\frac{1}{2})$
     • $x=\pi, y = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \implies (\pi, -\frac{3}{2})$ (новый минимум)
     • $x=\frac{3\pi}{2}, y = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies (\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2})$
     • $x=2\pi, y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies (2\pi, \frac{1}{2})$
   Для построения графика сначала рисуют косинусоиду $y=\cos x$, а затем сдвигают ее целиком на $\frac{1}{2}$ единицы вниз.

Ответ: График функции $y = \cos x - \frac{1}{2}$ — это косинусоида, полученная из графика $y=\cos x$ сдвигом вниз по оси OY на $\frac{1}{2}$. Период равен $2\pi$, область значений $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.