Номер 126, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 126, страница 44.

Условие.

126. Решить графически уравнение:

1) $ \cos x = |x|; $

2) $ \sin x = -|x + 1|. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для решения уравнения $\cos x = |x|$ графическим методом необходимо построить графики функций $y = \cos x$ и $y = |x|$ в одной системе координат. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$, область значений которой – отрезок $[-1; 1]$. Функция является четной, её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Построим график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$. Эта функция также является четной и её график симметричен относительно оси OY.

Поскольку обе функции, $y = \cos x$ и $y = |x|$, являются четными, их графики симметричны относительно оси OY. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также будет корнем. Поэтому достаточно найти положительные корни, а отрицательные будут им симметричны.

Рассмотрим случай $x \ge 0$. Уравнение принимает вид $\cos x = x$.

- При $x = 0$, имеем $\cos(0) = 1$, а $y=x=0$. Таким образом, $\cos x > x$.

- При $x > 1$, значение $\cos x$ находится в пределах от -1 до 1, в то время как $y=x$ будет больше 1. Следовательно, при $x > 1$ пересечений быть не может. Таким образом, если положительный корень существует, он лежит на интервале $(0, 1]$.

- На отрезке $[0, \pi/2]$ (где $\pi/2 \approx 1,57$) функция $y = \cos x$ является непрерывной и убывающей от 1 до 0. Функция $y = x$ на этом же отрезке является непрерывной и возрастающей от 0 до $\pi/2$. Поскольку при $x=0$ значение $\cos x$ больше $x$, а при $x=1$ значение $\cos(1) \approx 0,54$ меньше $1$, то графики функций $y=\cos x$ и $y=x$ обязательно пересекутся, и притом только в одной точке $x_0$ на интервале $(0, 1)$.

Итак, существует единственный положительный корень $x_0$. В силу симметрии графиков относительно оси OY, существует также единственный отрицательный корень $-x_0$.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: уравнение имеет 2 корня.

---

2)

Для решения уравнения $\sin x = -|x + 1|$ графическим методом построим графики функций $y = \sin x$ и $y = -|x + 1|$ в одной системе координат. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$, область значений которой – отрезок $[-1; 1]$.

2. Построим график функции $y = -|x + 1|$. Этот график получается из графика $y=|x|$ сдвигом на 1 единицу влево по оси OX (получаем $y=|x+1|$) и последующим симметричным отражением относительно оси OX. В результате получаем график в виде перевернутой буквы "V", вершина которой находится в точке $(-1, 0)$. Область значений этой функции – промежуток $(-\infty; 0]$.

Найдем область, в которой могут существовать решения. Пересечение графиков возможно только там, где совпадают их области значений. Область значений $y = \sin x$ – это $[-1; 1]$, а для $y = -|x + 1|$ – это $(-\infty; 0]$. Пересечение этих областей – отрезок $[-1; 0]$.

Это означает, что решения могут существовать только для тех $x$, для которых значения обеих функций лежат в отрезке $[-1; 0]$. Условие $y \ge -1$ для второй функции дает: $-|x+1| \ge -1 \implies |x+1| \le 1 \implies -1 \le x+1 \le 1 \implies -2 \le x \le 0$. Таким образом, все возможные корни уравнения лежат на отрезке $[-2; 0]$.

Раскроем модуль на этом отрезке:

- При $x \in [-1, 0]$: $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид $\sin x = -(x+1)$ или $\sin x + x + 1 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + x + 1$. На концах отрезка имеем: $f(-1) = \sin(-1) - 1 + 1 = \sin(-1) \approx -0,84 < 0$. $f(0) = \sin(0) + 0 + 1 = 1 > 0$. Производная $f'(x) = \cos x + 1$. На интервале $(-1, 0)$ значение $\cos x > 0$, поэтому $f'(x) > 1 > 0$. Функция $f(x)$ непрерывна и строго возрастает, а на концах отрезка принимает значения разных знаков. Следовательно, на интервале $(-1, 0)$ существует ровно один корень.

- При $x \in [-2, -1)$: $|x+1| = -(x+1)$. Уравнение принимает вид $\sin x = -(-(x+1))$ или $\sin x = x+1$, что эквивалентно $\sin x - x - 1 = 0$. Рассмотрим функцию $g(x) = \sin x - x - 1$. На концах интервала имеем: $g(-1) = \sin(-1) + 1 - 1 = \sin(-1) < 0$. $g(-2) = \sin(-2) - (-2) - 1 = \sin(-2) + 1$. Так как $- \pi/2 \approx -1,57$, а $-\pi \approx -3,14$, то $- \pi < -2 < -\pi/2$. В этой области $\sin(-2)$ отрицателен, но больше $-1$. Поэтому $\sin(-2) + 1 > 0$. Производная $g'(x) = \cos x - 1$. На интервале $(-2, -1)$ значение $\cos x < 1$, поэтому $g'(x) < 0$. Функция $g(x)$ непрерывна и строго убывает, а на концах отрезка $[-2, -1]$ принимает значения разных знаков. Следовательно, на интервале $(-2, -1)$ существует ровно один корень.

За пределами отрезка $[-2, 0]$ решений нет. При $x > 0$, $-|x+1| < -1$, а $\sin x \ge -1$, поэтому равенство невозможно. При $x < -2$, $x+1 < -1$, в то время как $\sin x \ge -1$, поэтому $\sin x > x+1$ и равенство также невозможно.

Следовательно, уравнение имеет ровно два корня.

Ответ: уравнение имеет 2 корня.