Номер 128, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 128, страница 44.

Условие.

128. Решить уравнение:

1) $ \arccos(x-3) = \frac{3\pi}{4} $;

2) $ \arcsin\left(\frac{x+2}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\arccos(x-3) = \frac{3\pi}{4}$

По определению арккосинуса, если $\arccos(a) = b$, то это эквивалентно тому, что $\cos(b) = a$ при выполнении двух условий: $-1 \le a \le 1$ (область определения арккосинуса) и $0 \le b \le \pi$ (область значений арккосинуса).

В нашем случае $a = x-3$ и $b = \frac{3\pi}{4}$.

Сначала проверим, входит ли значение $b = \frac{3\pi}{4}$ в область значений арккосинуса $[0, \pi]$.

$0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$ - это неравенство верно, так как $0 \le \frac{3}{4} \le 1$.

Следовательно, мы можем переписать исходное уравнение, применив к обеим частям функцию косинуса:

$\cos(\arccos(x-3)) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

$x-3 = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Найдем значение косинуса в правой части. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти, где значения косинуса отрицательны.

$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$x-3 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Осталось найти $x$, перенеся $-3$ в правую часть:

$x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арккосинуса: $-1 \le x-3 \le 1$.

Подставим найденный $x$: $x-3 = \left(3 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, и, следовательно, $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$. Неравенство $-1 \le -\frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$ выполняется, значит, решение корректно.

Ответ: $x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $\arcsin\left(\frac{x+2}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$

По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то это эквивалентно тому, что $\sin(b) = a$ при выполнении двух условий: $-1 \le a \le 1$ (область определения арксинуса) и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$ (область значений арксинуса).

В нашем случае $a = \frac{x+2}{3}$ и $b = -\frac{\pi}{6}$.

Сначала проверим, входит ли значение $b = -\frac{\pi}{6}$ в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$ - это неравенство верно, так как $-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{6} \le \frac{1}{2}$.

Следовательно, мы можем применить к обеим частям уравнения функцию синуса:

$\sin\left(\arcsin\left(\frac{x+2}{3}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

$\frac{x+2}{3} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Найдем значение синуса в правой части. Функция синус нечетная, поэтому $\sin(-y) = -\sin(y)$.

$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$\frac{x+2}{3} = -\frac{1}{2}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 3:

$x+2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$x+2 = -\frac{3}{2}$

Перенесем 2 в правую часть:

$x = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{7}{2}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арксинуса: $-1 \le \frac{x+2}{3} \le 1$.

Подставим найденный $x$: $\frac{-\frac{7}{2}+2}{3} = \frac{-\frac{7}{2}+\frac{4}{2}}{3} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}$.

Неравенство $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$ выполняется, значит, решение корректно.

Ответ: $x = -\frac{7}{2}$.