Номер 129, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 129, страница 44.

Условие.

129. Найти все значения x, при которых функция $y=1.5-2\sin^2\frac{x}{2}$ принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти все значения $x$, при которых функция $y = 1,5 - 2\sin^2\frac{x}{2}$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

$1,5 - 2\sin^2\frac{x}{2} > 0$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Если принять $\alpha = \frac{x}{2}$, то $2\alpha = x$, и формула примет вид: $\cos(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$.

Выразим $2\sin^2\frac{x}{2}$ из этой формулы: $2\sin^2\frac{x}{2} = 1 - \cos(x)$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$1,5 - (1 - \cos(x)) > 0$

$1,5 - 1 + \cos(x) > 0$

$0,5 + \cos(x) > 0$

Перенесем $0,5$ в правую часть:

$\cos(x) > -0,5$

Теперь решим это тригонометрическое неравенство. Сначала найдем корни уравнения $\cos(x) = -0,5$.

Общее решение этого уравнения: $x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-0,5) = \frac{2\pi}{3}$, то $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Используя единичную окружность, определим, при каких значениях $x$ косинус будет больше $-0,5$. Это соответствует дуге, заключенной между точками $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решение неравенства на одном периоде имеет вид: $-\frac{2\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается как:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

Ответ: $x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.